【補】３次曲線のｊ-不変量

　６つの有理関数

　　ｆ1(x)=ｘ，ｆ2(x)=１−ｘ，ｆ3(x)=１／ｘ，ｆ4(x)=１／（１−ｘ），ｆ5(x)=（ｘ−１）／ｘ，ｆ6(x)=ｘ／（ｘ−１）

を考えます（ｘ≠０，１）．２つの関数の合成，たとえば，

　　ｆ2・ｆ3(x)=ｆ2（ｆ3(x)）=１−１／ｘ=（ｘ−１）／ｘ=ｆ5(x)

ですから，ｆ2・ｆ3＝ｆ5とします．

　すると，この６つの関数は群となります．

　　　 　｜　ｆ1　　ｆ2　　ｆ3　　ｆ4　　ｆ5　　ｆ6

　　−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　ｆ1　｜　ｆ1　　ｆ2　　ｆ3　　ｆ4　　ｆ5　　ｆ6

　　ｆ2　｜　ｆ2　　ｆ1　　ｆ5　　ｆ6　　ｆ3　　ｆ4

　　ｆ3　｜　ｆ3　　ｆ4　　ｆ1　　ｆ2　　ｆ6　　ｆ5

　　ｆ4　｜　ｆ4　　ｆ3　　ｆ6　　ｆ5　　ｆ1　　ｆ2

　　ｆ5　｜　ｆ5　　ｆ6　　ｆ2　　ｆ1　　ｆ4　　ｆ3

　　ｆ6　｜　ｆ6　　ｆ5　　ｆ4　　ｆ3　　ｆ2　　ｆ1

　なお，位数がｎの有限体はｎが素数と素数の累乗の場合だけに限られます．すなわち，位数が２，４，８，１６，３２，・・・の有限体，３，９，２７，８１，２４３，・・・の有限体はあるのですが，６や１５の有限体はないのです．

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　非特異３次曲線の標準型：　　ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）

のｊ-不変量は

　　ｊ＝２^8（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2

によって定義されます．λ＝−１のときｊ＝１７２８，λ＝−ζ6（１の６乗根）のときｊ＝０となります．

　ｊｰ不変量はモジュラー不変量とも呼ばれ，

　　ｊ（λ）＝ｊ（１−λ）＝ｊ（１／λ）

　＝ｊ（１−１／λ）＝ｊ（１／（１−λ））＝ｊ（λ／（１−λ））

ですから，４個の点｛０，１，λ，∞｝の入れ替えに依存しないinvariantで，最も単純で重要な保型関数と考えられます．

　複比を

　　λ＝｛（λ0−λ2）／（λ1−λ2）｝／｛（λ0−λ3）／（λ1−λ3）｝

によって定義すると，λiの順序を変えるとλの値は変わります．すなわち，｛λ0，λ1，λ2，λ3｝からつくられる複比の値は，

　　λ，１−λ，１／（１−λ），１／λ，λ／（λ−１），（λ−１）／λ

の６つのどれかに移ります．

　この順序による曖昧さを消すために，λの６つの分数変換の不変式をとって，

　　ｊ＝２^8（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2

とおくのです．複比は一次分数変換で不変であり，ｊもまた射影変換で不変です．（直線上の４点の複比は射影によって不変である）

　なお，

　　ｊ（λ）＝ｊ（１−λ）＝ｊ（１／λ）

が成り立てば，あとの等式はこの２つから導かれますから，有理関数

　　（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2

が本質的であって，係数２^8には本質的な意味はありません．実際，

　　（ｘ^2−ｘ＋１）^3／ｘ^2（ｘ−１）^2＝（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2

と，変数ｘの方程式を考えると，

λ^2（λ−１）^2（ｘ^2−ｘ＋１）^3−（λ^2−λ＋１）^3ｘ^2（ｘ−１）^2＝０

はλ≠０，１より，６次方程式となり，

　　λ，１−λ，１／（１−λ），１／λ，λ／（λ−１），（λ−１）／λ

のどれを代入しても成り立ちます．重複が生ずるのは

　　λ^2−λ＋１＝０，λ＝１／２，λ＝−１，λ＝２

の場合に限ります．

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