フェルマー・ワイルスの定理より

　　ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n

に整数解が存在するのは，ｎ＝１と２の場合だけです．したがって，ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3になるような３つの整数ａ，ｂ，ｃを見つけることはできませんが，誤差±１を許すことにすると

　　６^3＋８^3＝９^3−１

のようにぎりぎりこれに近い式を見つけることができます．

　ここでは，ラマヌジャンが示した

　　ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3±１

のパラメータ解を紹介します．

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【１】ラマヌジャン解

　３つの数列｛ａn｝，｛ｂn｝，｛ｃn｝の母関数を以下のように定義する．

　　Σａnｘ^n＝（１＋５３ｘ＋９ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　　Σｂnｘ^n＝（２−２６ｘ−１２ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　　Σｃnｘ^n＝（２＋８ｘ−１０ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　すると

ｎ　　　　　　ａn 　　　　　　　ｂn 　　　　　　　ｃn

０　　　　　　　１　　　　　　　２　　　　　　　　２

１　　　　　１３５　　　　　１３８　　　　　　１７２

２　　　１１１６１　　　１１４６８　　　　１４２５８

３　　９２６２７１　　９５１６９０　　１１８３２５８

のようになりますが，このとき

　　ａn^3＋ｂn^3＝ｃn^3＋（−１）^n

がすべてのｎ＝０，１，２，３，・・・に対して成り立つ．

　［参］チャンバーランド「ひとけたの数に魅せられて」岩波書店

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［雑感］

　（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）＝（ｘ＋１）（ｘ^2−８３ｘ＋１）

　（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，２，２）から始まって次々に解となる数を見つけることができるというわけですが，（ａ，ｂ，ｃ）＝（６，８，９）は含まれず，すべての解をもれなく表す式ではありません．

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