累乗が登場する数として「タクシー数」がある．その由来は，数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき，タクシーナンバーが１７２９という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ，ラマヌジャンはそれは２つの３乗数で２通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である．

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

［１］（７ａ^4−１１ａｂ^3）^3＋（７ｂ^4−２ａ^3ｂ）^3

＝（７ｂ^4−１１ａ^3ｂ）^3＋（７ａ^4−２ａｂ^3）^3

［２］（９ｎ^4）^3＋（９ｎ^3＋１）^3＝（９ｎ^4＋３ｎ）^3＋１

　ｎ＝１のとき，９^3＋１０^3＝１２^3＋１

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１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

（12+1）（12＾2-12・1+1＾2）＝（10+9）（10＾2-10・9+9＾2）

13・133＝19・91

１２^3-１０^3＝９^3-１^3

（12-10）（12＾2+12・10+10＾2）＝（9-1）（9＾2+9・1+1＾2）

2・364＝8・91

１２^3-９^3＝１０^3-１^3

（12-9）（12＾2+12・9+9＾2）＝（10-1）（10＾2+10・1+1＾2）

3・333＝9・111

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立方数は

0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,1331,1728

階差をとると

1,7,19,37,61,91,127,169,217,271,331,397

再び階差をとると

6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66（等差数列）

さらに階差をとると

6,6,6,6,6,6,6,6,6,6

となって、単純なパターンが現れる。

数列の各項を足し合わせていくと、ひとつ前の数列を再現することができる。

この方法はどんな多項式関数にも通用する。

足し算さえできればいいのであって、掛け算は必要なくなる。

これがバベッジの階差機関の原理である。

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