■729と1729(その12)

【2】フレニクル

ところで,1729のこの性質は17世紀にフレニクルがすでに見つけていた.フレニクルは12^3+1^3=10^3+9^3のほかにも

  9^3+15^3=2^3+16^3

  15^3+33^3=2^3+34^3

  16^3+33^3=9^3+34^3

  19^3+24^3=10^3+27^3

を見つけている.

  19^3+24^3=10^3+27^3

を除き,連続する整数が1組ずつある.また,負の数を使ってよければ

  91=4^3+3^3=6^3+(−5)^3

728=6^3+8^3=9^3+(−1)^3

もあるが,これにも連続する整数が1組ある・・・.

おそらくフレニクルは,a^3+b^3=c^3+d^3を解くために,

[1]2パラメータ恒等式

(7a^4−11ab^3)^3+(7b^4−2a^3b)^3=(7b^4−11a^3b)^3+(7a^4−2ab^3)^3

[2]1パラメータ恒等式

(9n^4)^3+(9n^3+1)^3=(9n^4+3n)^3+1

 n=1のとき,9^3+10^3=12^3+1

 n=−1のとき,9^3+(−8)^3=6^3+1=217

が見つけたのだろう.

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