ラマヌジャンの友達は数であった．ラマヌジャン自身の才能，熱烈な好奇心，集中力によりラマヌジャンは数の達人になり得たのである．

ラマヌジャンに由来する次の問題について考えてみたい．

［Ｑ］ｘ^3＋ｙ^3＝１７２９を満たす整数解（ｘ，ｙ）をすべて求めよ．

［Ａ］１７２９＝７・１３・１９

ｘ^3＋ｙ^3＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2）

ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙ）^2―３ｘｙより

［１］ｘ＋ｙ＝1，3ｘｙ＝1・１−７・１３・１９

［２］ｘ＋ｙ＝７，3ｘｙ＝７・７―１３・１９

［３］ｘ＋ｙ＝１３，3ｘｙ＝１３・１３―７・１９＝３６

［４］ｘ＋ｙ＝１９，3ｘｙ＝１９・１９―７・１３＝２７０

［５］ｘ＋ｙ＝７・１３，3ｘｙ＝（７・１３）^2―１９

［６］ｘ＋ｙ＝７・１９，3ｘｙ＝（７・１９）^2―１３

［７］ｘ＋ｙ＝１３・１９，3ｘｙ＝（１３・１９）^2―７

［８］ｘ＋ｙ＝７・１３・１９，3ｘｙ＝（７・１３・１９）^2―１

　　［３］，［４］より（ｘ，ｙ）＝（１，１２），（９，１０），（１０，９），（１２，１）が得られる．

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【１】ラマヌジャン

数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき，タクシーナンバーが１７２９という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ，ラマヌジャンは１７２９は２つの３乗数で２通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である．

たしかに

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

と書き表すことができるが，どうすればそんなことに気づくことができるのだろうか？　１７２８はそれよりも１小さい．したがって，

　　１７２８＝１２^3＝１２・１２・１２

専門的になるが，重さ0のモジュラー関数

　　ｊ（ｚ）＝ｅｘｐ（−２ｉπｚ）＋７４４＋１９６８８４ｅｘｐ（２ｉπｚ）＋・・・

において，ｚ=iとおくと

　　ｊ（ｉ）＝１７２８＝１２^3

という性質がこの逸話のもとになっている．それにしても，長い間，数について研究し，さまざまな関連性を熟知していなければ答えることができないことであろう．

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