■729と1729(その6)

 数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき,タクシーナンバーが1729という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ,ラマヌジャンはそれは2つの3乗数で2通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である.

  1729=12^3+1^3=10^3+9^3

 1729のこの性質は17世紀にフレニクルがすでに見つけていた.フレニクルは12^3+1^3=10^3+9^3のほかにも

  9^3+15^3=2^3+16^3

  15^3+33^3=2^3+34^3

  16^3+33^3=9^3+34^3

  19^3+24^3=10^3+27^3

を見つけている.

  19^3+24^3=10^3+27^3

を除き,連続する整数が1組ずつある.また,

 2つの4乗数の和で2通りに表される最小の数は,

  635318657=158^4+59^4=133^4+134^4

で,これにも連続する整数が1組あるのがおもしろい.

 負の数を使ってよければ

  91=4^3+3^3=6^3+(−5)^3

のようなものもあるが,これにも連続する整数が1組ある・・・.

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 その後,方程式

  x^3+y^3=u^3+v^3

  a^4+b^4=c^4+d^4

  a^5+b^5+c^5=d^5+e^5+f^5

  a^6+b^6+c^6=d^6+e^6+f^6

のパラメータを用いた解が見つかっている.

[Q]x^3+1^3=y^3+10^3を満たす整数回(x,y)を求めよ.

[A]x^3−y^3=10^3−1^3=999=3^2・111=3^3・37

  (x−y)(x^2+xy+y^2)=3^3・37

 また,x^2+xy+y^2=(x−y)^2+3xyより

  x^2+xy+y^2>x−y

であるから,

[1]x^2+xy+y^2=999,x−y=1

[2]x^2+xy+y^2=333,x−y=3

[3]x^2+xy+y^2=111,x−y=9

[4]x^2+xy+y^2=37,x−y=27

 これを解くと(x,y)=(12,9)が得られる.

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