ラマヌジャンが示した

　　ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3±１

のパラメータ解が正しいことが確認された．

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【１】ラマヌジャン解

　３つの数列｛ａn｝，｛ｂn｝，｛ｃn｝の母関数を以下のように定義する．

　　Σａnｘ^n＝（１＋５３ｘ＋９ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　　Σｂnｘ^n＝（２−２６ｘ−１２ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　　Σｃnｘ^n＝（２＋８ｘ−１０ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　すると

ｎ　　　　　　ａn 　　　　　　　ｂn 　　　　　　　ｃn

０　　　　　　　１　　　　　　　２　　　　　　　　２

１　　　　　１３５　　　　　１３８　　　　　　１７２

２　　　１１１６１　　　１１４６８　　　　１４２５８

３　　９２６２７１　　９５１６９０　　１１８３２５８

のようになりますが，このとき

　　ａn^3＋ｂn^3＝ｃn^3＋（−１）^n

がすべてのｎ＝０，１，２，３，・・・に対して成り立つ．

しかし、どうすればそんなことに気づくことができたのだろうか？

ラマヌジャンが如何にして3つの数列を結びつけることができたかは知る由もないが、長い間、数について研究し、様々な関連性を熟知していなければできないことだろう。才能・熱烈な好奇心・集中力のおかげでラマヌジャンは数の達人になることができたのである。

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【２】もうひとつのラマヌジャン解

　ラマヌジャンはａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の解を二つの文字ｍ，ｎの恒等式

ａ＝３ｍ^2＋５ｍｎ−５ｎ^2 ，

ｂ＝４ｍ^2−４ｍｎ＋６ｎ^2 ，

ｃ＝５ｍ^2−５ｍｎ−３ｎ^2 ，

ｄ＝６ｍ^2−４ｍｎ＋４ｎ^2

として与えています．３^3 ＋４^3＋５^3＝６^3

を意識したものですが，すべての解をもれなく表す式ではないとと思われます．

　（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）＝（ｘ＋１）（ｘ^2−８３ｘ＋１）

　　Σａnｘ^n＝（１＋５３ｘ＋９ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　　Σｂnｘ^n＝（２−２６ｘ−１２ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　　Σｃnｘ^n＝（２＋８ｘ−１０ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

は（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，２，２）から始まって次々に解となる数を見つけることができるというわけですが，（ａ，ｂ，ｃ）＝（６，８，９）は含まれず，また、1729=1^3+12^3=9^3+10^3も含まれません。すべての解をもれなく表す式ではありませんが、収束を加速させる方法になっているようです。．

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