数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき，タクシーナンバーが１７２９という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ，ラマヌジャンは１７２９は２つの３乗数で２通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である．

たしかに

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

と書き表すことができるが，どうすればそんなことに気づくことができるのだろうか？　

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数学者が１７２９という数を見たら、１２^3＝１７２８を思い浮かべないはずはない

さらに、１０００＝１０^3、７２９＝９^3であることにも当然気づくであろう。

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【１】ラマヌジャンが発見した恒等式

(6a^2-4ab+4b^2)^3+(3b^2+5ab-5a^2)^3=(6b^2-4ab+4a^3)-(3a^2+5ab-5b^2)^3

a=3/√7,b=4/√7とすれば

１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

が現れる

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【２】２つの４乗数で２通りに表せる最小の数

６３５３１８６５７１＝５９^4＋１５８^4＝１３３^4＋１３４^4

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【３】ブラーマグプタの２平方恒等式

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

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【４】ラグランジュの恒等式

(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)=(a1b1+a2b2+a3b3)^2+(a2b3-a3b2)^2+(a1b3-a3b1)^2+(a1b2-a2b1)^2

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【５】オイラーの４平方恒等式

(a1^2+a2^2+a3^2+a4^2)(b1^2+b2^2+b3^2+b4^2)

=(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4)^2+(a1b2-a2b1+a3b4-a4b3)^2+(a1b3-a2b4-a3b1+a4b2)^2+(a1b4+a2b3-a3b2-a4b1)^2

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【６】ラマヌジャンーの恒等式

64{(a+b+c)^6+(b+c+d)^6-(c+d+a)^6-(d+a+b)^6+(a-d)^6-(b-c)^6}{(a+b+c)^10+(b+c+d)^10-(c+d+a)^10-(d+a+b)^10+(a-d)^10-(b-c)^10}

=45{(a+b+c)^8+(b+c+d)^8-(c+d+a)^8-(d+a+b)^8+(a-d)^8-(b-c)^8}

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