■フェルマーの最終定理と有限体(その206)

数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき,タクシーナンバーが1729という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ,ラマヌジャンは1729は2つの3乗数で2通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である.

たしかに

  1729=12^3+1^3=10^3+9^3

と書き表すことができるが,どうすればそんなことに気づくことができるのだろうか? 

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数学者が1729という数を見たら、12^3=1728を思い浮かべないはずはない

さらに、1000=10^3、729=9^3であることにも当然気づくであろう。

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【1】ラマヌジャンが発見した恒等式

(6a^2-4ab+4b^2)^3+(3b^2+5ab-5a^2)^3=(6b^2-4ab+4a^3)-(3a^2+5ab-5b^2)^3

a=3/√7,b=4/√7とすれば

1729=12^3+1^3=10^3+9^3

が現れる

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【2】2つの4乗数で2通りに表せる最小の数

6353186571=59^4+158^4=133^4+134^4

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【3】ブラーマグプタの2平方恒等式

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

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【4】ラグランジュの恒等式

(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)=(a1b1+a2b2+a3b3)^2+(a2b3-a3b2)^2+(a1b3-a3b1)^2+(a1b2-a2b1)^2

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【5】オイラーの4平方恒等式

(a1^2+a2^2+a3^2+a4^2)(b1^2+b2^2+b3^2+b4^2)

=(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4)^2+(a1b2-a2b1+a3b4-a4b3)^2+(a1b3-a2b4-a3b1+a4b2)^2+(a1b4+a2b3-a3b2-a4b1)^2

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【6】ラマヌジャンーの恒等式

64{(a+b+c)^6+(b+c+d)^6-(c+d+a)^6-(d+a+b)^6+(a-d)^6-(b-c)^6}{(a+b+c)^10+(b+c+d)^10-(c+d+a)^10-(d+a+b)^10+(a-d)^10-(b-c)^10}

=45{(a+b+c)^8+(b+c+d)^8-(c+d+a)^8-(d+a+b)^8+(a-d)^8-(b-c)^8}

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