ブジョー・ミニョット・シクセクの定理

フィボナッチ数のうち、N^mの形のものは０，a1=a2=１，a6=８，a12=１４４のみである。no

これはフェルマー予想と同様の方針で証明されたとのことである

一方、１を除くと８はフィボナッチ数の中でただ一つの立方数、１４４はただ一つの平方数です。これは初等的手法による証明とのことである

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フィボナッチ数列

f(x)=(x)/(1-x-x^2)=(1/√5)/(1-αx)-(1/√5)/(1-βx)

α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2,αβ=-1,α^2+β^2=3、β=-1/α

Fn=1/√5・{α^n-β^n}

　a0=0,a1=1,a2=1

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リュカ数列の漸化式は

　a0=2,a1=1,a2=3

an=an-1+an-2 (n≧2)

f(x)=(2-x)/(1-x-x^2)=(1)/(1-αx)+(1)/(1-βx)

α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2

Ln={α^n+β^n}

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5(Fn)^2-(Ln)^2=4(-1)^n+1

5(Fn)^2-(Ln)^2=α^2n+β^2n-2(αβ)^n-α^2n-β^2n-2(αβ)^n

＝-4(αβ)^n==4(-1)^(n+1)

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m|n→Fm|Fn

2Fm+n=FmLn+FnLm

2Lm+n=5FmLn+FmLn

L4m=(L2m)^2-2

(F3m,L3m)=2

not 3|m→(Fm,Lm)=1

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L6p=2 (mod4)

k=2^r,r≧1→Lk=3 (mod4)

k=2^r→(-1/Lk)=-1,(2/Lk)=1

k=2^r,r≧2→not (3|Lk)

k=2^r,r≧1→Fl+2k=-Fl (mod Lk)

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