ｆ（ｘ）＝ｐ（０）＋ｐ（１）ｘ＋ｐ（２）ｘ^2＋ｐ（３）ｘ^3＋・・・

　　　　　＝Σｐ（ｎ）ｘ^n

　ｆ（ｘ）＝＝１／（１−ｘ）・１／（１−ｘ^2）・１／（１−ｘ^3）・・・

　　　　　＝Π１／（１−ｘ^m）

は大きさに関する制限のないｎの分割の個数を表している．

　ｆ（ｑ）＝Π１／（１−ｑ^m），ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

はｆ（ｑ）を上半平面上の関数として考えようとしているからである．

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［１］ｐ（ｎ）の大きさ　（ハーディ・ラマヌジャン）

　ｐ（ｎ）〜ｅｘｐ（ａ（ｎ））／ｂ（ｎ）

　ａ（ｎ）〜π√（２ｎ／３）

　ｂ（ｎ）〜４ｎ√３

［２］ｐ（ｎ）の合同式

　　ｐ（５ｋ＋４）＝０　　（ｍｏｄ５）

　　ｐ（７ｋ＋５）＝０　　（ｍｏｄ７）

　　ｐ（１１ｋ＋６）＝０　　（ｍｏｄ１１）

　ここで関係している素数は１２より小さい，１２を割らない素数であるが，これは楕円曲線の判別式Δが重み１２をもつことに関係している．

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Δ＝（Ｅ4^3−Ｅ6^2）１／１７２８＝Στ（ｎ）ｑ^n

［１］Δ＝ｑΠ（１−ｑ^k）^24　　（ヤコビ）

　　　（ｑ／Δ）^1/24＝Π（１−ｑ^k）^-1＝ｆ（ｑ）

［２］η（ｑ）＝ｑ^1/24Π（１−ｑ^k）＝ｑ^1/24／ｆ（ｑ）

　　　ｑ^1/24＝ｅｘｐ（πｉｚ／１２），（デデキントのエータ関数）

［３］η（ｑ）／ｑ^1/24Π（１−ｑ^k）

　　　Π（１−ｑ^k）＝Σ（−１）^mｑ^m(3m-1)/2，（オイラーの五角数定理）

［４］θ（ｑ）＝Σｑ^m^2＝１＋２ｑ＋２ｑ^4＋＋２ｑ^9＋・・・　　（テータ関数）

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