■フェルマーの最終定理と有限体(その138)

 f(x)=p(0)+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+・・・

     =Σp(n)x^n

 f(x)==1/(1−x)・1/(1−x^2)・1/(1−x^3)・・・

     =Π1/(1−x^m)

は大きさに関する制限のないnの分割の個数を表している.

 f(q)=Π1/(1−q^m),q=exp(2πiz)

はf(q)を上半平面上の関数として考えようとしているからである.

===================================

[1]p(n)の大きさ (ハーディ・ラマヌジャン)

 p(n)〜exp(a(n))/b(n)

 a(n)〜π√(2n/3)

 b(n)〜4n√3

[2]p(n)の合同式

  p(5k+4)=0  (mod5)

  p(7k+5)=0  (mod7)

  p(11k+6)=0  (mod11)

 ここで関係している素数は12より小さい,12を割らない素数であるが,これは楕円曲線の判別式Δが重み12をもつことに関係している.

===================================

Δ=(E4^3−E6^2)1/1728=Στ(n)q^n

[1]Δ=qΠ(1−q^k)^24  (ヤコビ)

   (q/Δ)^1/24=Π(1−q^k)^-1=f(q)

[2]η(q)=q^1/24Π(1−q^k)=q^1/24/f(q)

   q^1/24=exp(πiz/12),(デデキントのエータ関数)

[3]η(q)/q^1/24Π(1−q^k)

   Π(1−q^k)=Σ(−1)^mq^m(3m-1)/2,(オイラーの五角数定理)

[4]θ(q)=Σq^m^2=1+2q+2q^4++2q^9+・・・  (テータ関数)

===================================