上半平面Im(z)＞0の変数z=x+iy(y＞0)に対して

q=exp(2πiz)とし、

Δ(z)=qΠ(1-q^n)^24=Στ(n)q^n, (|q|＜1)

とおくと、Δ(z)はモジュラー群SL(2,z)に関する保型形式となる

この場合の保型性とは

Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)

がすべての(a,b,c,d)＜SL(2,z)に対して成立することである

L(s,Δ)==Στ(n)q^n=Π(1-τ(p)p^-s+p^11-2s)^-1

はRe(s)＞7で絶対収束する

Lp(s,Δ)=∞→Re(s)=11/2・・・これは｜τ（ｎ）｜≦２ｐ^11/2と同値である

ドリーニュはこれが正しいことを証明した．

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したがって、

{p^6+p^5-τ(p)}/p^6＜={p^6+p^5+2p^11/2}/p^6=(1+1/√p)^2，

{p^6+p^5-τ(p)}/p^6＞={p^6+p^5-2p^11/2}/p^6=(1-1/√p)^2，

ｐ→∞のとき

{p^6+p^5-τ(p)}/p^6→1

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同様に

{p^11+1-τ(p)}/p^11＜={p^11+1+2p^11/2}/p^11=(1+p^-11/2)^2，

{p^11+1-τ(p)}/p^11＞={p^11+1-2p^11/2}/p^11=(1-p^-1/2)^2，

ｐ→∞のとき

{p^11+1-τ(p)}/p^11→1

また

L(11,Δ)^-1=Π(1-τ(p)p^-s+p^11-2s)より

ｐ→∞のとき

Π{p^11+1-τ(p)}/p^11→L(11,Δ)^-1

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さらに

Π{p^7+p^4-τ(p)}/p^7→L(7,Δ)^-1

Π{p^8+p^3-τ(p)}/p^8→L(8,Δ)^-1

Π{p^9+p^2-τ(p)}/p^9→L(9,Δ)^-1

Π{p^10+p^1-τ(p)}/p^10→L(10,Δ)^-1

Π{p^11+1-τ(p)}/p^11→L(11,Δ)^-1

{p^7+p^4-τ(p)}/p^7→1

{p^8+p^3-τ(p)}/p^8→1

{p^9+p^2-τ(p)}/p^9→1

{p^10+p^1-τ(p)}/p^10→1

{p^11+1-τ(p)}/p^11→1

が成立する

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Π{1-τ(p)p^-6+p^-1}^-1→L(1/2,Δ)/√2

Π{p^6+p^5-τ(p)}/p^6→√2/L(6,Δ)

が成立すると予想されている

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