上半平面Im(z)＞0の変数z=x+iy(y＞0)に対して

q=exp(2πiz)とし、

Δ(z)=qΠ(1-q^n)^24=Στ(n)q^n, (|q|＜1)

とおくと、Δ(z)はモジュラー群SL(2,z)に関する保型形式となる

この場合の保型性とは

Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)

がすべての(a,b,c,d)＜SL(2,z)に対して成立することである

L(s,Δ)==Στ(n)q^n=Π(1-τ(p)p^-s+p^11-2s)^-1

はRe(s)＞7で絶対収束する

Lp(s,Δ)=∞→Re(s)=11/2・・・これは｜τ（ｎ）｜≦２ｐ^11/2と同値である

ドリーニュはこれが正しいことを証明した．

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A=(a,b,c,d)＜GL(2,R)、A・z=(az+b)/(cz+d)で定義する

そのなかで行列式が正のものをGL+(2,R)と書くことにする

A＜GL→C、A＜GL+→H（上半平面）

Im(A・z)=det(A)・Im(z)/|cz+d|^2

A'(z)=det(A)/|cz+d|^2,|A'(z)|/Im(A・z)=1/Im(z)

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双曲計量ds^2=(dx^2+dy^2)/y^2はユークリッド計量を虚部ｙで割ったものであるが

A'(z)=det(A)/|cz+d|^2,|A'(z)|/Im(A・z)=1/Im(z)は1/ｙがAの作用で不変であることを意味している

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