ラマヌジャンのτ関数は

Δ=qΠ(1-q^n)^24=Στ(n)q^n, (|q|＜1)

に現れる。ラマヌジャンはそのゼータ関数として

L(s,Δ)=Στ(n)/n^s　を考え、

オイラー積として

L(s,Δ)=ΠLp(s,Δ)

Lp(s,Δ)=(1-τ(p)p^-s+p^11-2s)^-1

局所リーマン予想として

Lp(s,Δ)=∞→Re(s)=11/2・・・これは｜τ（ｎ）｜≦２ｐ^11/2と同値である

を予想した

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オイラー積は翌年１９１７年、モーデルによって証明された

局所リーマン予想はラマヌジャン予想として有名になったが、それが証明されたのは６０年近く後の1963年

ドリーニュはこれが正しいことを証明した．

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【２】ラマヌジャンの分割数と判別式

　τ(p)はｐが増加するとき，急激に増加するのですが，１９７４年，ドリーニュによって，ラマヌジャン予想，

　　｜τ(p)｜＜２ｐ^(11/2)

が証明されています．この式はp^(-s)=ｘとおいた２次式

　　1-τ(p)ｘ+p^11ｘ^2

の虚根条件（判別式：τ(p)^2-4p^11＜０）となっていることに注意して下さい．

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