【１】ラマヌジャンの分割数

　一方，τ（ｎ）はｍｏｄ７，ｍｏｄ２３，ｍｏｄ６９１と大変よい関係にあることがわかっている．

　　τ（７ｎ）＝０　　ｍｏｄ７

　　τ（７ｎ＋３）＝０　　ｍｏｄ７

　　τ（７ｎ＋５）＝０　　ｍｏｄ７

　　τ（７ｎ＋６）＝０　　ｍｏｄ７

　　τ（２３ｎ＋ｋ）＝０　　ｍｏｄ２３　　（ｋが２３の平方非剰余のとき

　　τ（ｎ）＝σ11（ｎ）　　ｍｏｄ６９１　　（σ11（ｎ）はｎの約数の１１乗の和）

　τ（ｎ）のおよその大きさを決めるのは難しい問題であったが，ラマヌジャンは素数ｐに対して，

　　｜τ（ｎ）｜≦２ｐ^11/2

が成り立つことを予想し，１９７３年，ドリーニュはこれが正しいことを証明した．

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【２】ラマヌジャンの分割数と判別式

　τ(p)はｐが増加するとき，急激に増加するのですが，１９７４年，ドリーニュによって，ラマヌジャン予想，

　　｜τ(p)｜＜２ｐ^(11/2)

が証明されています．この式はp^(-s)=ｘとおいた２次式

　　1-τ(p)ｘ+p^11ｘ^2

の虚根条件（判別式：τ(p)^2-4p^11＜０）となっていることに注意して下さい．

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