■フェルマーの最終定理と有限体(その123)

  Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

に対して,第0項から始まるように,パラメータをずらすと

  Σ(n+1)^5/{exp(2π(n+1))-1}

 この級数の項比は

  an+1xn+1/anxn=(n+2)^5/(n+1)^5・{exp(2π(n+1))-1}/{exp(2π(n+2))-1}

であるから超幾何級数では表せないことがわかる.それではどうやってこれらの級数を証明したらいいのだろうか?

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 アイゼンシュタイン級数

  Ek(z)=−Bk/2k+買ミk-1(n)q^n

を用いれば,これらを証明できるということであった.

  E6 → Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

  E2 → Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

  E4,ラマヌジャンのΔ → Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

[参]黒川信重・栗原将人・斉藤毅「数論U,Fermatの夢と類体論」岩波書店

  Ek(-1/z)=z^kEk(z)  (双対性)

にz=iを代入すると−1/i=iになることを利用するのである.

  Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

(証)E6(-1/z)=z^6E6(z)にz=iを代入すると,E6(i)=i^6E6(i)=−E6(i)よりE6(i)=0

  E6(i)=1−504Σσ5(n)exp(-2πn)=1−504Σn^5/{exp(2πn)-1}

  Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

(証)E2(-1/z)=z^2E2(z)+6z/πiにz=iを代入すると,E2(i)=-E2(i)+6/πよりE2(i)=3/π

  Σσ(n)exp(-2πn)=Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

  Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

(証)レルヒの公式より,E4(i)=3(ω/π)^4

  E4(i)=1+240Σσ3(n)exp(-2πn)=1+240Σn^5/{exp(2πn)-1}

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