保型形式が最初に現れたのは，１７５０年のオイラーによる五角数定理

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))　　　m(3m-1)/2は五角数

ですが，これを３乗した形の展開結果はかなり簡単になり，ヤコビの公式（１８２９年）

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)　　　(m^2+m)/2は三角数

が得られます．これらはヤコビの３重積公式の特別な場合になっています．

　ヤコビの公式を経て，数論はラマヌジャンの保型形式論の時代（２４乗の場合）に突入します．オイラー数（オイラーの分割数）

　　f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)

　　　　=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･

すなわち，Π(1-x^n)^(-1)は分割数p(n)の母関数なのですが，それと同様にして，ラマヌジャン数が定義できます．

　　f(x)=xΠ(1-x^n)^24=x{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)･･･}^24

　　　　=Στ(n)x^n=τ(1)x+τ(2)x^2+τ(3)x^3+･･･

　ラマヌジャンは，デデキントのイータ関数（重さ1/2をもつモジュラー関数），

　　η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)

とおくと

　　Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24＝Στ(n)q^n

　　　　　 ｚは虚部が正の複素数で，q=exp(2πiz)

を考え，そのフーリエ係数τ(n)を計算しました．

　　τ(1)=1,τ(2)=-24,τ(3)=252,τ(4)=-1472,τ(5)=4830,τ(6)=-6048,

　　τ(7)=-16744,τ(8)=84480,τ(9)=-113643,τ(10)=-115920,

　　τ(11)=534612,τ(12)=-370944,･･･

　無限積をベキ級数に展開した式（フーリエ展開）が登場しましたが，このΔ(z)は，重さ１２の保型形式

　　Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)

と呼ばれるものになっていて，オイラーの五角数公式を拡張した２４乗版と考えられます．

　ラマヌジャン数は，オイラーの分割数のアナローグであり，

(1)ｍとｎが素ならば，τ(m)τ(n)＝τ(mn)

　　τ(2)*τ(3)=-6048=τ(6)，τ(2)*τ(5)=-115920=τ(10)

　　τ(3)*τ(4)=-370944=τ(12)，τ(2)*τ(9)=2727432=τ(18)

　　τ(4)*τ(5)=-7109760=τ(20)，τ(3)*τ(7)=-4219488=τ(21)

(2)τ(p^(n+1))-τ(p^n)τ(p)=-p^11τ(p^(n-1))

(3)τ(n)＝σ11(n)（ｎの約数の１１乗の総和）　　（ｍｏｄ　６９１）

など驚くような性質をもっています．　このようにフーリエ係数がｎに関して乗法的性質をもつ保型形式は，ヘッケ固有形式と呼ばれるです．

　また，ラマヌジャンは保型形式を用いて，

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

　　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

　　Σ1/n{exp(2πn)-1}=-π/12-1/2log(ω/√2π)

を証明しています．ここで，πとωはそれぞれ，

　　π＝2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159･･･（円周率）

　　ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205･･･（レムニスケート周率）

です．　これらの等式は，積分表示 　　ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)x^(s-1)/{exp(x)-1}dx の離散化ともみることができます

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