最高次の係数が１である整数係数方程式x^n+a1x^n-1+・・・+an=0の解となる複素数のことを代数的整数という。

√２は方程式x^2-2=0を満たす代数的整数である。

3√２,i,(-1+i√3)/2はそれぞれx^3-3=0,x^2+1=0,x^2+x+1=0の解であるから代数的整数である。

しかし、1/3,√2/2,(-1+i√5)/2,e,π代数的整数ではない。

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代数的整数の和と積がともに代数的整数であることは自明なことではない。

√３＋√5＋√７は代数的整数であるが、それが満たすような次数８の多項方程式を見つけるには結構な時間がかかる。

3√３＋8√5＋7√７＋10√１２２１のモニック多項式を探すとなると、誰も取り掛かろうとはしないだろう。

代数的数α＝√３＋√５を取り上げる。

(1)α^2＝8+2√15→√15が現れる。

(2)α^3＝3√３+9√５+15√３+5√５=18√３+14√５→新しい平方根は現れない

(3)α^4＝64+32√15+6＝124+32√15

(4)α^nを計算しても、１と３つの平方根√３、√５、√１５のほかに新しい平方根は現れない。すなわち、α^nは１と３つの平方根√３、√５、√１５の線形結合である

(5)以上のことにより、αは次数４の整数係数の多項方程式を満たす

α^2＝8+2√15

α^2-8=2√15

α^4-16α^2+64=60

α^4-16α^2+4=0

あるいは

√15=(α^2-8)/2

α^4＝124+32√15=124+32(α^2-8)/2=124+16(α^2-8)=124+16α^2-128

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α^3-18α=-4 √５

α^3-14α=4 √３

は使わなくてもよいのだろうか？

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