x^4+y^4=z^4が自然数解を持たないこと

　y^2=x^3-x=x(x-1)(x+1)が(0,0),(±1,0)以外の 有理数解を持たないことは同値

y^2=x^3-x

X=1/x^2,Y=y^2/x^3→X^4+Y^4=1/x^8+y^8/x^12=1/x^8+x^4(x^2-1)^4/x^12

=1/x^8+(x^2-1)^4/x^8=1/x^8+(x^8-4x^6+6x^4-4x^2+1)/x^8 ???

こちらが正しい

y^2-x^3+x=Y^4/X^6-1/X^6+1/X^2=(Y^4+X^4-1)=0

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　x^3+y^3=z^3が自然数解を持たないこと

　x/z=2X/(Y+1),y/z=(Y-1)/(Y+1)→Y^2=4/3・X^3-1/3が有理数を持たないことは同値

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y^2=x^3-432

X=(36+y)/6x,Y=(36-y)/6x→

X^3+Y^3-1=(2・36^3+6・36y^2-6^3x^3)/6^3x^3

=(2・6^3+y^2-x^3)/x^3=0

x=12/(X+Y),y=36(X-Y)/(X+Y)→y^2=x^3-432

y^2-x^3+432＝36^2(X-Y)^2/(X+Y)^2-12^3/(X+Y)^3+3・12^2

=12^2{9(X-Y)^2/(X+Y)^2-12/(X+Y)^3+3}

=3・12^2{3・(X-Y)^2/(X+Y)^2-4/(X+Y)^3+1}

=3・12^3/(X+Y)^3{3・(X-Y)^2(X+Y)-4+(X+Y)^3}

=3・12^3/(X+Y)^3{4x^3+4y^3-4}=0

有理点を有理点にうつす

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