x^3+y^3=z^3が自然数解を持たないことと

　x/z=2X/(Y+1),y/z=(Y-1)/(Y+1)→Y^2=4/3・X^3-1/3が有理数を持たないことは同値

x^4+y^4=z^4が自然数解を持たないことと

　y^2=x^3-x=x(x-1)(x+1)が(0,0),(±1,0)以外の 有理数解を持たないことは同値

y^2=x^3-x　(modp)

を満たすFpの数の組(x,y)の個数Npを調べてみます。

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[1]p=3

x=0→x^3-x=0→y=0

x=1→x^3-x=0→y=0

x=2→x^3-x=0→y=0

3個

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[2]p=5

x=0→x^3-x=0→y=0

x=1→x^3-x=0→y=0

x=2→x^3-x=1→y=1，4

x=3→x^3-x=4→y=2，3

x=4→x^3-x=0→y=0

7個

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ｐ　3　5　7　11　13　17　19　23　29　31　37　41

Np　3　7　7　11　 7　15　19　23　29　31　39　41

ｐが4で割って3余る素数ならば、Np＝ｐが成り立ちます。-1はFｐの平方数ではない。

ｐが4で割って3余る素数ならば、・・・

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ｐが4で割って3余る素数ならば、2つの平方和で表せない

ｐが4で割って1余る素数ならば、2つの平方和で表せる

p=a^2+b^2,aは奇数、bは偶数

ｂが4で割り切れる偶数のとき、aを4で割って1余る奇数

ｂが4で割って2余る偶数のとき、aを4で割って3余る奇数とすると、ｐは一意に分解されます。

p=a^2+b^2の形で

5=(-1)^2+2^2

13=3^2+2^2

17=1^2+4^2

29=(-5)^2+2^2

37=(-1)^2+6^2

41=5^2+4^2

p-2a=Npが成り立つことがわかります。

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ｐ　3　5　7　11　13　17　19　23　29　31　37　41

Np　3　7　7　11　 7　15　19　23　29　31　29　41

aｐ=p-Npとして、apの値を求めてみると

ｐ　3　5　7　11　13　17　19　23　29　31　37　41

ap　0　-2 0　 0　 6　 2　 0　 0　-10　0　-2　10

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ここでqΠ(1-q^4n)^2(1-q^8n)^2

=1-2q^5-3q^9+6q^13+2q^17-q^25-10q^29-2q^37+10q^41+・・・

=Σbnq^n

とすると

ap=bpが成り立っています。

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