【１】デデキントのイータ関数，

　　η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)

次の変換公式が成り立つ

η(i/z)=√z・η(iz)

η(-1/z)=-iz・{η(z)}^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】イータ積

Δ(z)= {η(z)}^24=q^(1/24)Π(1-q^n)^24,q=exp(2πiz)が重さ12、レベルSL2(z)の尖点形式である（定数項0のｑ展開を持つ）

アイゼンシュタイン級数を用いると

　　Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24

　　　　 ＝q-24q^2+252q^3-1472q^4+5483q^5+･･･

は

　　Δ(z)＝1/1732(E4(z)^3-E6(z)^2)

と表されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

関数　　F(z)=η(z)^2η(11z)^2

　　 =qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2=q-2q^2-q^3+2q^4+q^5+2q^6-2q^7+･･･

　　 =c(n)q^n,q=exp(2πiz)

を考える．c(n)はF(z)のフーリエ係数である．

　F(z)は，

　　ad-bc=1,c=0(mod 11すなわち１１の倍数)

なる任意の整数a,b,c,dに対して

　　F(az+b/cz+d)=(cz+d)^2F(z)

を満たすから，F(z)は重さ２の保型関数である．重さ2、レベルΓ0(11)の尖点形式である

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

N=11：F(z)=η(z)^2η(11z)^2

N=14：F(z)=η(z)η(2z)η(7z)η(14z)

N=15：F(z)=η(z)η(3z)η(5z)η(15z)

N=20：F(z)=η(2z)^2η(10z)^2

N=24：F(z)=η(2z)η(4z)η(6z)η(12z)

N=27：F(z)=η(3z)^2η(9z)^2

N=32：F(z)=η(4z)^2η(8z)^2

N=36：F(z)=η(6z)^4

重さ2、レベルΓ0(N)の尖点形式である

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　N={11,14,15,17,19,20,21,24,27,32,36,49}の閉曲面の種数は1である

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

楕円曲線は

N=11：y^2+y=x^3-x^2-10x-20

N=14：y^2+xy+y=x^3+4x-6

N=15：y^2+xy+y=x^3+x^2-10x-10

N=17：y^2+xy+y=x^3-x^2-x-14

N=19：y^2+y=x^3+x^2-9x-15

N=20：y^2=x^3+x^2+4x+4

N=21：y^2+xy=x^3-4x-1

N=24：y^2=x^3-x^2-4x+4

N=27：y^2+y=x^3-7

N=32：y^2=x^3+4x

N=36：y^2=x^3+1

N=49：y^2+xy=x^3-x^2-2x-1

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝