■フェルマーの最終定理と有限体(その61)

Δ=(E4^3−E6^2)1/1728=Στ(n)q^n

 ヤコビは

  Δ=qΠ(1−q^k)^24

を証明した.ここで,12は2倍になって24になっている.

 24乗根をとると

   (q/Δ)^1/24=Π(1−q^k)^-1=f(q)

Δは重み12をもち,24乗根をとるとf(q)の重みは1/2.

 デデキントはエータ関数を定義した(重み1/2のモジュラー形式).

  η(q)=q^1/24Π(1−q^k)=q^1/24/f(q)

  q^1/24=exp(πiz/12)

  η^24=Δ

 η(q)/q^1/24Π(1−q^k)

   Π(1−q^k)=Σ(−1)^mq^m(3m-1)/2,(オイラーの五角数定理)

 ヤコビのテータ関数

  θ(q)=Σq^m^2=1+2q+2q^4++2q^9+・・・

も,重み1/2のモジュラー形式である.

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