ｙ^2＋ｙ＝ｘ^3-ｘ^2 -１０ｘ-２０

　ｙ^2＋ｙ＝ｘ^3-ｘ^2

　ｙ^2＝４ｘ^3-６０ｇ4ｘ -１４０ｇ6 などは楕円曲線である。一般には

　　Ey^2+Fxy+Gy=Ax^3+Bx^2+Cx+D

で定まる特異点を持たない曲線である

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両辺をA^2E^3倍すると

　　A^2E^4y^2+A^2E^3Fxy+A^2E^3Gy=A^3E^3x^3+A^2E^3Bx^2+A^2E^3Cx+A^2E^3D

　　(AE^2y)^2+F(AEx)(AE^2y)+AEG(AE^2y)=(AEx)^3+BE(AEx)^2+ACE^2(AEx)+A^2DE^3

AEx=X,AE^2y=Yと書き直すことで、A=E=1とできる

Y^2+FXY+AEGY=X^3+BEX^2+ACE^2X+A^2DE^3

Y^2+FXY+GY=X^3+BX^2+CX+D

さらに

Y+(FX+G)/2をYYと書き直すことで、F=G=0とできる

YY^2-{(FX+G)/2}^2=X^3+BX^2+CX+D

YY^2=X^3+BX^2+CX+D

最後に

X+B/3をXXと書き直すことで、B=0とできる

YY^2=XX^3-(B/3)X-B^2/9+CX+D

YY^2=XX^3+CX+D

よって、y^2=x^3+ax+bという形の方程式のみ考えればよいことがわかる。

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y^2=x^3+ax+b

(x0,y0)

が特異点であるとき、∂f/∂x=0,∂f/∂y=0であるから

y0^2=x0^3+ax0+b

3x0^2+a=0

2y0=0

したがって、a=-3x0^3, b=2x0^3

4a^3+27b^3=0

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