【ワイエルシュトラスの楕円曲線】

　ｙ＝ａｘ^3 ＋ｂｘ^2 ＋ｃｘ＋ｄという方程式で定まる曲線はおなじみの３次曲線ですが，ｙのところがｙ^2 に変わるとワイエルシュトラスの楕円曲線：

　　ｙ^2 ＝ａｘ^3 ＋ｂｘ^2 ＋ｃｘ＋ｄ

になります．ただし，ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数で，右辺の３次式は重根をもたないものと仮定します．楕円曲線をワイエルシュトラス形式に制限しても一般性を失いません．実際，どのような楕円曲線もワイエルシュトラス形式の楕円曲線に双有理的に同値だからです．

　ｘ^2 の項の係数はｘ’＝ｘ＋ｂ／３ａと変数変換することによって簡単に消すことができますから，

　　ｙ^2 ＝ｘ^3 ＋ａ^ｘ＋ｂ　　　（４ａ^3 ＋２７ｂ2 ≠０） を楕円曲線と定義しても構いません．４ａ^3 ＋２７ｂ^2 ≠０は重根をもたないための条件です．　特異点がなければ，楕円曲線と呼ばれる非有理曲線で２次曲線とは本質的に異なってきます．２次曲線はすべて有理曲線ですが，３次曲線が異なる３根をもつ有理係数の多項式の場合は，有理勾配の方法によるパラメトライズは有効には働きません．すなわち，楕円曲線は有理曲線でないため有理関数で表わすことはできませんが，楕円関数でパラメトライズすることは可能です．

　楕円曲線の例として，ｙ^2 ＝ｘ^3 ＋１をあげますが，この曲線のグラフはまったく楕円ではありません．楕円と楕円曲線はまったく異なるもので，楕円の孤の長さを求める楕円積分問題とかかわっていることから楕円曲線という名前がつけられています．

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　ワイエルシュトラスの標準形：

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ　　　（２^2ａ^3＋３^3ｂ^2≠０）

のｊ-不変量を計算すると，

　　ｊ＝２^8・３^3ｂ^2／（２^2ａ^3＋３^3ｂ^2）

となります．ｊｰ不変量は，２つの楕円曲線が同じｊｰ不変量をもつかどうかなど，３次曲線を分類する（見分ける）ための指標になっているのです．

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　最後に，オイラーによる，楕円曲線：ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄの解法を紹介しましょう．

　ｄ＝ｆ^2とする．ｇを未知数として，ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｆ^2＝（ｇｘ＋ｆ）^2なる関係を考える．ｃ＝２ｆｇになるようにｇを定めれば，ａｘ＋ｂ＝ｇ^2．したがって，

　　ｘ＝（ｇ^2−ｂ）／ａ＝（ｃ^2−４ｂｆ^2）／４ａｆ^2

なる有理数解を得る．

　手品のようですが，幾何学的に考えると

　　Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ^2−ａｘ^3−ｂｘ^2−ｃｘ−ｆ^2 の点（０，ｆ）における接線の方程式は−ｃｘ＋２ｆ（ｙ−ｆ）＝０．ここで，ｃ＝２ｆｇと定めるとｙ＝ｇｘ＋ｆになる．曲線は３次で，接点では２重に交わるから，第３の交点（有理点）が１つ決まるのです．

　　ｙ^2＝ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｅ では，ｅ＝ｆ^2，ｄ＝２ｇｆ，ｃ＝ｇ^2＋２ｈｆとおくと，ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｆ^2＝（ｈｘ^2＋ｇｘ＋ｆ）^2より，ａｘ＋ｂ＝ｈ^2＋２ｈｇ．したがって，

　　ｘ＝（ｂ−２ｈｇ）／（ｈ^2−ａ） なる解が得られます．

　　ｙ^3＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ の場合も同様に解くことができますが，これらの方法は実質的にはディオファントスまでさかのぼることができます．

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