有限体上の楕円曲線

　　ｙ^2＝ｘ^3−４３２　　（ｍｏｄｐ）〜X^3+Y^3＝１

の解を探すことにする．

　ｐ＝５の場合，４つあるとして、実際の個数が

　　ｐ−ａp

に等しいとすると，ｐ＝５の場合，４＝５−ａ5であるから，ａ5＝１となる．

　ｐが小さいうちは簡単に計算できたが，ｐが大きくなるにつれてどんどん複雑になる．ａpを求める方法はあるのだろうか？　実は，すべてのａpを生成する方法があることが知られている．

保型形式　

　　ｑΠ（１−ｑ^3n）^2（１−ｑ^9n）^2

＝Σｂnq^n

を定める。この係数ｂmはランダムにみえるが，実はａp＝ｂpが成り立っていて，

　　ａｐ＝ｂｐ

を生成できるのである．

　また，有限体上の任意の楕円曲線に対して

　　ａp＝ｂp

であるようなモジュラー形式が存在するというのが，谷山・志村・ヴェイユ予想である．

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