整数ｎが合同数であるとは、ｎが３辺の長さがすべて有理数の直角三角形の面積となることである。すなわち、

n=ab/2,a^2+b^2=c^2となる有理数(a,b,c)が存在することである

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合同数とは、辺の長さがすべて有理数である直角三角形の面積の値である。

６は（３，４，５）の直角三角形の面積であるから合同数である。

５は（3/2，20/3，41/6）の直角三角形の面積であるから合同数である。

７は（35/12，24/5，337/60）の直角三角形の面積であるから合同数である。

１，２，３，４は合同数でないことが証明されているので、５が整数の中で最小な合同数である。

整数の合同数ｎは、a^2+b^2=c^2,n=ab/2と表せるので、x=n(a+c)/b,y=2n^2(a+c)/b^2とおくと

y^2=x^3-n^2x

が無限個の有理数解をもつことが必要十分条件である。

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もしa,b,cの分母が与えられていれば、易しい問題になるだろうか？

[1]n=5,分母6が与えられているとする。

a^2+b^2=c^2,360=ab=2^3・3^2・5、a,b,cは整数

a=2,b=180

a=3,b=120

a=4,b=90

a=5,b=72

a=6,b=60

a=8,b=45

a=9,b=40,c=41

a=10,b=36

a=12,b=30

a=15,b=24

a=18,b=20

a=20,b=18

a=24

a=30

a=36

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もしa,b,cの分母が与えられていれば、易しい問題になるだろうか？

[1]n=7,分母60が与えられているとする。

a^2+b^2=c^2,14・3600=ab=2^5・3^2・5^2・7、a,b,cは整数

a=35・5＝175,b=24・12＝288、c=337

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