θ＝π／（２ｎ＋１）として，

　　ｄ＝ｒ（１＋ｃｏｓθ）／ｓｉｎθ

　　ｘ＝（１−ｒ）ｃｏｓθ

　　ｙ＝（１−ｒ）ｓｉｎθ

　　Ｓ1＝１／２ｒ^2ｔａｎθ−１／２ｒ^2θ

　　Ｓ2＝１／２（ｒ−ｘ）（ｄ−ｒｔａｎθ）

　　Ｓ3＝１／２ｄ^2ａｒｃｔａｎ（ｒ−ｘ）／（ｄ−ｙ）−Ｓ1−Ｓ2

とおくと星状領域の面積は

　　Ｓn＝πｒ^2−２（２ｎ＋１）Ｓ3

で求められます．

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　ここで，ｒは２次方程式

　　（４＋４ｃｏｓθ）ｒ^2−（４＋４ｃｏｓθ）ｒ＋１＝０

の大きな方の実根として求められますから，ｎ→∞のとき

　　ｒ→（２＋√２）／４，ｘ→１−ｒ，ｙ→０

　また，ｎ→∞のとき

　　（２ｎ＋１）ｔａｎθ→π，（２ｎ＋１）ｓｉｎθ→π

より，

　　２（２ｎ＋１）Ｓ1→０

　　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３＋ｘ^5／５−・・・

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　　（ｒ−ｘ）／ｄ（１−ｙ／ｄ）

　→（２ｒ−１）／ｄ・｛１＋ｙ／ｄ＋（ｙ／ｄ）^2＋・・・｝

　＝（２ｒ−１）／ｄ＋（２ｒ−１）ｙ／ｄ^2＋（２ｒ−１）ｙ^2／ｄ^3＋・・・

　ここで，

　　Ａ＝１＋ｙ／ｄ＋（ｙ／ｄ）^2＋・・・

とすると

　　（２ｎ＋１）ｄ^2ａｒｃｔａｎ（ｒ−ｘ）／（ｄ−ｙ）

　→（２ｎ＋１）ｄ^2｛（２ｒ−１）／ｄ・Ａ−１／３｛（２ｒ−１）／ｄ・Ａ｝^3＋１／５｛（２ｒ−１）／ｄ・Ａ｝^5−・・・｝

　＝（２ｒ−１）（２ｎ＋１）ｄ＋（２ｒ−１）（２ｎ＋１）ｙ＋（２ｒ−１）（２ｎ＋１）ｙ^2／ｄ＋・・・−１／３（２ｒ−１）^3Ａ^3（２ｎ＋１）／ｄ＋１／５（２ｒ−１）^5Ａ^5／ｄ^3−・・・

　ｎ→∞のとき，

　　（２ｒ−１）（２ｎ＋１）ｙ→（２ｒ−１）（１−ｒ）π

　　（２ｒ−１）（２ｎ＋１）ｙ^2／ｄ→０

ですから

　　Ｓn＝πｒ^2−２（２ｎ＋１）Ｓ3

　　→π｛ｒ^2−（２ｒ−１）ｒ−（２ｒ−１）（１−ｒ）＋（２ｒ−１）^3／６ｒ｝

　　＝π（７ｒ^2／３−４ｒ＋２−１／６ｒ）＝（５−２√２）π／２４

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