楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1の媒介変数表示は

ｘ＝acosθ,ｙ＝ｂsinθ

についても、S=1/2・abuが成り立つ

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原点Ｏと点Ａ(t=0),点Ｐ(t=u)で囲まれた領域の面積は

S=1/2・abu

Ｓ＝1/2・acos(u)bsin(u)+∫(0,acos(u))ydx

∫(0,acos(u))ydx=∫(0,u)y(dx/dt)dt=-∫(0,u)ab(sin(t))^2dt

=-ab/2∫(0,u)[cos(2t)-1)dt=-ab/2cos(u)sin(u)+u

したがって、S=1/2・abu

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