ストークスの定理が不要な場合を掲げておきたい。

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　双曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1の媒介変数表示は

ｘ＝asecθ,ｙ＝ｂtanθ

で表されるが

ｘ＝acosh(t),ｙ＝ｂsinh(t)

の表し方のほうが何かと都合がよい。

dｘ/dt＝asinh(t),dｙ/dt＝ｂcosh(t)

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原点Ｏと点Ａ(t=0),点Ｐ(t=u)で囲まれた領域の面積は

S=1/2・abu

Ｓ＝1/2・acosh(u)bsinh(u)-∫(0,acosh(u))ydx

∫(0,acosh(u))ydx=∫(0,u)ydx/dtdt=∫(0,u)ab(sinh(t))^2dt

=ab/2∫(0,u)[cosh(2t)-1)dt=ab/2cosh(u)sinh(u)-u

したがって、S=1/2・abu

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　楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1の媒介変数表示は

ｘ＝acosθ,ｙ＝ｂsinθ

についても、S=1/2・abuが成り立つ

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