簡単な形にはならないことが分かったが、α=90°のときはアステロイド

　　x=(cosθ)^3、　　y=(sinθ)^3

になるだろうか？

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α＝１８０−１８０/ｎ°で交わる2つの直線上で、針の両端を滑らせることによって得られる図形は針を１８０/ｎ°回転させることができる。

この図形をｎ個貼り合わせると２ｎ-1尖点図形が出来上がるが、この図形は完全に1回転させることができる。

長さ1の線分の両端点がそれぞれｘ軸、ｙ=tanα軸上にある。線分の傾きをtanθとする。

ｘ0＝-cosθ+z0cosα=-cosθ+sinθcotα→-cosθ

ｙ0=sinθ＝ｚ0sinα

θで偏微分すると

ｘ0’＝sinθ+cosθcotα→sinθ

ｙ0’=cosθ

線分の方程式は

Y=tanθ(X-x0)

θで偏微分すると

0＝(X-x0)(secθ）^2-tanθｘ0’

(X-x0)(secθ）^2=tanθｘ0’

(X-x0)＝(cosθ）^2tanθｘ0’→X=-(cosθ)^3

Y=tanθ(X-x0)=tanθ(cosθ）^2tanθｘ0’→Y=-(sinθ)^3

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