ペリトロコイド星状図形の面積は[π/8,π/4)であった。

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【１】掛谷の問題

　１９１７年，掛谷宗一は「長さが１である線分を１回転させるのに必要な最小面積の図形は何か」という問題を提出しました．

（凸図形の場合）

　（例１）線分ＡＢをＡの回り１８０°回転した半円：面積π／２

　（例２）ＡＢを中点Ｏの回りに３６０°回転した円：面積π／４

　（例３）ルーローの三角形（正三角形の各頂点を中心として他の２頂点を通る円弧を描いてできる定幅図形）：面積（π−√３）／２

　平面における定幅図形（いかなる方向に関しても等しい幅をもっている図形）は円だけではなく，そのような形状は無数にあります．定幅図形の中で最大の面積をもつものは円であり，最小の面積をもつものはルーローの三角形です（ブラシュケ・ルベーグ，１９１４年）．

　実は凸領域となる最小の領域は，高さが１の正三角形（面積√３／３）であることが藤原松三郎によって予想され，１９２１年，パルによって証明されています．

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（星状図形の場合）

　それでは，凸領域でなくてもよいとしたとき，解はどうなるのでしょうか？　この問題は多くの予想を生み出しました．たとえば，デルトイドでは長さが一定の線分をデルトイドに接しながらスムーズに１回転させることができるので，掛谷はデルトイドが「掛谷の問題」の解であると予想したのです．

　（例４）直径３／４の円を固定しておいて，その円に直径１／４の円を内接させて転がしたときにできるデルトイド：面積π／８

　単連結となる最小の領域は，面積π／８のデルトイドと予想され，掛谷自身，π／８が最小値であると予想しましたし，多くの数学者も答はデルトイドではないかと予想していたようです．

　ベシコビッチの論文がでた１９２７年以降も，単連結となる最小の星状領域はデルトイド（面積：π／８）であると信じられていました．ところが，これらより面積が小さい図形が考えだされました．デルトイドが３個の尖点をもっていることに着目すると，５個の尖点，７個の尖点，・・・をもつ図形を考えることができるのです．

　たとえば，２ｎ＋１個の尖点と円弧をもち，図形全体が内接している円に直交している星状領域（面積：Ｓn）を考えると，ｎ→∞のとき

　　Ｓn→（５−２√２）π／２４＜π／１１

を示すことができます．この形はフーコーの振り子を何万回もらせたときの形になり，その面積はπ／１１よりも小さくなります．

　このようにして，単連結となる最小の星状領域は，面積π／８のデルトイドではなく，別の星状図形であることがブルームとシェーンベルグにより発見されました（１９６３年）．

　その後，カニンガムによって，δを中心から長さ１の線分までの垂直距離とすると

　　１／２７Σａｒｃｓｉｎ６δ≧π／１０８

であることより，与えられた最小の星形掛谷集合の面積の下限はπ／１０８と（５−２√２）π／２４の間にあることが示されています（１９７１年）．すなわち，尖点の個数を増やしたとしても面積を際限なく減らすことは不可能で，その面積はπ／１１より大きくはならないし，π／１０８以下にはできないこと，そして下限は（５−２√２）π／２４以下であるというわけです．

　　π／１０８≦Ｋ≦（５−２√２）π／２４＜π／１１

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（非単連結図形の場合）

　単連結というのは内部に穴がひとつもない図形のことですが，その条件さえも緩めたらどうなるでしょうか？　実は，単連結でなくてもよいとしたとき，ベシコビッチによって「前後を方向転換できるいくらでも面積の小さい図形を作ることができる」ことが証明され，掛谷の針の問題は意外な顛末を迎えました（１９２７年）．

　その際「ペロンの木」と呼ばれる図形操作を使って証明するのですが，ハンドルを細かく切り返すジグザグ運動を続けることで，１ｋｍの長さの針でも，切手１枚分の面積の図形の中で頭と尻尾を逆に方向転換できるというのですから，ベシコビッチの証明は直観に反しています．予想外であるうえ，常識ではとても受け入れられものではありません．多くの数学者にとっても予想が裏切られる結果になったわけで，その驚きはいかに大きかったであろうかと推察されます．

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（単連結図形の場合）

その後，カニンガムによって，与えられた最小の単連結掛谷集合の面積の下限は再び０であることが証明されました．したがって，

　凸掛谷集合の面積の下限：√３／３

　星形掛谷集合の面積の下限：　　π／１０８≦Ｋ2≦（５−２√２）π／２４＜π／１１

　単連結掛谷集合の面積の下限：Ｋ1＝０

とまとめられます．単連結図形による掛谷の針の問題にはまだ未解決な部分が残されているのです（実解析学における未解決問題）．

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