固定された大円（半径Ｒ）の内部に半径ｒ（＜Ｒ）の小円が入っているとする．小さい円（動円）が大きい円（定円）に内接し滑ることなく大きい円に沿って回転すると，動円上の定点はハイポサイクロイドを描く。

　ここで、主従を逆転させてみよう。

　大円（半径Ｒ）の内部に半径ｒ（＜Ｒ）の小円が入っているとする．大きい円（動円）が固定された小さい円（定円）に接しながら滑ることなく小さい円に沿って回転すると，動円上の定点はペリトロコイドを描く。 フラフープ曲線といったほうがイメージしやすいかもしれない。

　大円上のの2定点（直径の両端）あるいは正三角形をなす3定点の軌跡を同一にすることができる。たとえば、ロータリーエンジンでは軸が3回転するする間に、ローターが1周する機構を備えている。軸とローターの回転比が3倍になるようにｒ：Ｒ＝2：3とするのである。

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小円の中心を原点とする。大きい円の中心は半径Ｒ−ｒの円周上にあり、そこを公転しながら半径Ｒの円周上を自転する。

　　ａ＝Ｒ−ｒ、ｂ＝Ｒ

また、滑らないという条件は

Ｒα=（Ｒ−ｒ）β

と考えられる

【Ｑ２】円周１の小円がある．この円を内接させながら円周ｍの大円が転がるとき，１周するまでに大円は何回転するか？　また，外接しながら転がるときは何回転するか？

（Ａ２）Ｑ１において，小円（転円）が次第に大きくなり，大円（定円）の大きさを超えたとき，次のように定式化することができる．

　　α：大円の中心の小円の中心に対する公転角

　　β：大円の自転角

として，弧の長さを等しいとおけば

　　α＝ｍ（α−β）　→　ｍ＝α／（α−β）

　　β／α＝（ｍ−１）／ｍ

すなわち，１−１／ｍ回転．

これより、滑らないという条件は

Ｒβ=（Ｒ−ｒ）α

と考えられる

また、小円の中心を原点とする。大きい円の中心は半径Ｒ−ｒの円周上にあり、そこを公転しながら半径Ｒの円周上を自転する。

　　ａ＝Ｒ−ｒ、ｂ＝Ｒ

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【１】トロコイド曲線の符号

　回転子が原点を中心とする円周上を公転角α（反時計回り）で動き，中心の周りを自転角β（反時計回り）で回転する場合，

　　ｘ0＝ａｃｏｓα，ｙ0＝ａｓｉｎα

　　［ｘ］＝［ｃｏｓβ，−ｓｉｎβ］［ｂ］＋［ｘ0］

　　［ｙ］　［ｓｉｎβ，　ｃｏｓβ］［０］＋［ｙ0］

より

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ

が得られます．

もし，回転子の位相がπずれているならば，β→β＋πですから

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓ（β＋π）＝ａｃｏｓα−ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎ（β＋π）＝ａｓｉｎα−ｂｓｉｎβ

このことはｂ→−ｂとしても同じです

　ペリトロコイドは

　　ｘ＝（Ｒ−ｒ）ｃｏｓθ−Ｒｃｏｓ（（Ｒ−ｒ）/Ｒθ）

　　ｙ＝（Ｒ−ｒ）ｓｉｎθ−Ｒｓｉｎ（（Ｒ−ｒ）/Ｒθ）

で与えられます．

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　また，公転と自転の向きを逆方向にとる，すなわち，回転子が原点を中心とする円周上を公転角α（反時計回り）で動き，中心の周りを自転角β（時計回り）で回転する場合，

　　ｘ0＝ａｃｏｓα，ｙ0＝ａｓｉｎα

　　［ｘ］＝［ｃｏｓ（−β），−ｓｉｎ（−β）］［ｂ］＋［ｘ0］

　　［ｙ］　［ｓｉｎ（−β），　ｃｏｓ（−β）］［０］＋［ｙ0］

より

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα−ｂｓｉｎβ

もし，回転子の位相がπずれているならば，

　　ｘ＝ａｃｏｓα−ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ

　ペリトロコイドは

　　ｘ＝（Ｒ−ｒ）ｃｏｓθ−Ｒｃｏｓ（（Ｒ−ｒ）/Ｒθ）

　　ｙ＝（Ｒ−ｒ）ｓｉｎθ＋Ｒｓｉｎ（（Ｒ−ｒ）/Ｒθ）

で与えられます．

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