ドリルの問題ではローターの自転と公転が反対回り，ロータリーエンジンでは同じ向きという違いがありますが，その他に固定円と回転円の関係が逆になることも異なります．

　ドリルやロータリーエンジンの設計は正ｎ−１角形を原点を中心とする円周上を公転させながら自らも自転することにより得られる曲線（ペリトロコイド曲線）を決定する問題となるのです

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【Ｑ１】円周ｍの大円がある．この円に内接しながら円周１の小円が転がるとき，１周するまでに小円は何回転するか？　また，外接しながら転がるときは何回転するか？

（Ａ１）論より証拠，同じ大きさのコインを２つ用意して，一方を固定し他方をそれに外接するようにして実際に転がしてみると，円周は等しいのに２回転することがわかる．大円が小円のｍ倍のときは内転，外転に応じてそれぞれｍ−１回転，ｍ＋１回転することになる．もちろん円周の内側と外側で長さが違うわけではない．パップス・ギュルダンの定理をもちだすまでもなく，この問題のポイントは，小円が自転しながら同時に１公転していることにある．なお，大円は任意の閉曲線としても構わない．

　ｎ尖点ハイポサイクロイドは

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ

一方，ｎ尖点エピサイクロイドは

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ＋１）θ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ＋１）θ

と表されるのもそのせいである．　常識的には，内側であろうが外側であろうがｍ回転すると考えるのがアタリマエであるから，このように説明されても何となくだまされているような気分になるのが「自転・公転問題」である．

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　円周ｍの大円に内接しながら円周１の小円が転がるとき，

　　α：小円の中心の大円の中心に対する公転角

　　β：小円の自転角

として，弧の長さを等しいとおけば

　　ｍα＝α＋β　→　ｍ−１＝β／α

すなわち，ｍ−１回転するのである．

　このとき，回転子とつねに相対的位置が不変に保たれた点Ｐ（ｘ，ｙ）の運動について調べてみよう．固定子の中心を原点（０，０），回転子の中心を（ｘ0，ｙ0）として，最初の中心を（ａ，０）にとる．回転子に固定された点Ｐ（ｘ，ｙ）と回転子の中心との距離をＲとして，点Ｐの最初の相対的位置を

　　ｘ−ｘ0＝Ｒｃｏｓγ，ｙ−ｙ0＝Ｒｓｉｎγ

にとる．

　回転子が原点を中心とする円周上を公転角α（反時計回り）で動き，また，回転子が中心の周りを自転角β（時計回り）で回転するとき

　　ｘ0＝ａｃｏｓα，ｙ0＝ａｓｉｎα

　　［ｘ］＝［ｃｏｓ（−β），−ｓｉｎ（−β）］Ｒｃｏｓγ＋ｘ0

　　［ｙ］＝［ｓｉｎ（−β），　ｃｏｓ（−β）］Ｒｓｉｎγ＋ｙ0

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（−β＋γ）＋ａｃｏｓα

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（−β＋γ）＋ａｓｉｎα

ドリルの問題では，ローターの（ｎ−１）公転で１回転（自転）するから，

　　β／α＝１／（ｎ−１）

また，

　　固定子（内歯車，歯数ｒ）

　　回転子（外歯車，歯数ｓ）

とおくと，大円の円周は小円のｒ／ｓ（＝ｍ）倍と考えることができるから，

　　ｍ−１＝ｒ／ｓ−１＝（ｒ−ｓ）／ｓ＝１／（ｎ−１）

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　なお，円周ｍの大円に外接しながら円周１の小円が転がるときは，

　　ｍα＝β−α　→　ｍ＋１＝β／α

よりｍ＋１回転するが，内接のときと外接のときとでは小円の回転する方向が逆になる．

　回転子が原点を中心とする円周上を公転角α（反時計回り）で動き，また，回転子が中心の周りを自転角β（反時計回り）で回転するとき

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ）＋ａｃｏｓα

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ）＋ａｓｉｎα

　　β／α＝１／（ｎ−１）

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