■主従逆転型ハイポサイクロイド（その１８）
【１】通常方式のドリル
円周ｍの大円がある．この円に内接しながら円周１の小円が転がるとき，１周するまでに小円は何回転するだろうか？
α：小円の中心の大円の中心に対する公転角
β：小円の自転角
として，弧の長さを等しいとおけば
ｍα＝α＋β → ｍ−１＝β／α
すなわち，ｍ−１回転するのである．
ついでにいうと外接しながら転がるときは
ｍα＝β−α → ｍ＋１＝β／α
よりｍ＋１回転するが，内接のときと外接のときとでは小円の回転する方向が逆になる．
ドリルの問題では，ローターの（ｎ−１）公転で１回転（自転）するから，
β／α＝１／（ｎ−１）
また，
固定子（内歯車，歯数ｒ）
回転子（外歯車，歯数ｓ）
とおくと，大円の円周は小円のｒ／ｓ（＝ｍ）倍と考えることができるから，
ｍ−１＝ｒ／ｓ−１＝（ｒ−ｓ）／ｓ＝１／（ｎ−１）
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【２】ローターに固定された点の軌跡
回転子とつねに相対的位置が不変に保たれた点Ｐ（ｘ，ｙ）の運動について調べてみよう．
固定子の中心を原点（０，０），回転子の中心を（ｘ0，ｙ0）として，最初の中心を（ａ，０）にとる．回転子に固定された点Ｐ（ｘ，ｙ）と回転子の中心との距離をＲとして，点Ｐの最初の相対的位置を
ｘ−ｘ0＝Ｒｃｏｓγ，ｙ−ｙ0＝Ｒｓｉｎγ
にとる．
回転子は原点を中心とする円周上を公転角α（反時計回り）で動くから，
ｘ0＝ａｃｏｓα，ｙ0＝ａｓｉｎα
また，回転子は中心の周りを自転角β（時計回り）で回転することより
［ｘ］＝［ｃｏｓ（−β），−ｓｉｎ（−β）］Ｒｃｏｓγ＋ｘ0
［ｙ］＝［ｓｉｎ（−β）， ｃｏｓ（−β）］Ｒｓｉｎγ＋ｙ0
すなわち
ｘ＝Ｒｃｏｓ（−β＋γ）＋ａｃｏｓα
ｙ＝Ｒｓｉｎ（−β＋γ）＋ａｓｉｎα
β＝α／（ｎ−１）
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【３】ロータリーエンジン方式のドリル
回転子（内歯車，歯数ｒ）
固定子（外歯車，歯数ｓ）
とおくと，大円の円周は小円のｒ／ｓ（＝ｍ）倍と考えることができる．そして，
α：大円の中心の小円の中心に対する公転角
β：大円の自転角
として，弧の長さを等しいとおけば
α＝ｍ（α−β） → ｍ＝α／（α−β）
β／α＝（ｍ−１）／ｍ
ローターの（ｎ−１）公転で１回転（自転）するから，
β／α＝１／（ｎ−１）
に，ｍ＝ｒ／ｓを代入すると
β／α＝（ｍ−１）／ｍ＝１／（ｎ−１）
（ｒ−ｓ）／ｒ＝１／（ｎ−１）
が求める式となる。
なお，内側の円を固定させて，外側の円をそれに外接させながらそのまわりを回転させる場合は
α＝ｍ（β−α） → ｍ＝α／（β−α）
β／α＝（ｍ＋１）／ｍ
となる．外接させる場合はｍ−１の代わりにｍ＋１が現れる．
通常方式では公転角と自転角が反対回りであったが，ロータリーエンジン方式は同じ向きなので，ローターに固定された点の軌跡は
ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ）＋ａｃｏｓα
ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ）＋ａｓｉｎα
β＝α／（ｎ−１）
で表されることになる．
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【４】ローターの頂点の軌跡
以下，両方式は公転と自転の回転の向きが同じ方向に回転するか，反対方向に回転するかが異なるだけなので，両方式における頂点Ｐの軌跡を随伴させて描くことにする．ローターの中心の軌跡（白），通常方式における頂点Ｐの軌跡（緑），ロータリーエンジン方式における頂点Ｐの軌跡（黄）であるが，両方式ともローターのｎ−１個の頂点が描く軌道はすべて一致する．
通常方式ではｎ＝３のとき正三角形からの最大誤差を生ずるが，ｎ＞３では，正ｎ角形からの誤差は僅かで円近似は申し分なく適切である．また，ロータリーエンジン方式では軌道の一部が凹となる曲線を描く．
ところで，パスカルのリマソン（蝸牛線）は直交座標系では陰関数となる４次曲線：
（ｘ^2＋ｙ^2−ｂｘ）^2＝ａ^2（ｘ^2＋ｙ^2）
であるが，極座標では
ｒ＝ａ＋ｂｃｏｓθ
と表される．
ｎ＝３のとき，当該の軌道は
｛（ｘ−１／２）^2＋ｙ^2＋ｘ−１／２｝^2＝（√(3)/2-2/3）^2（（ｘ−１／２）^2＋ｙ^2）
で表される．これはｘ→１／２−ｘ，ａ√(3)/2-2/3，ｂ＝１とおいたものであるからリマソンとなる．
ｎ＝４の場合，軌道は繭型となるが，これは２ノードのペリトロコイド曲線と呼ばれているそうである．ペリトロコイド曲線はリマソンの拡張版と考えることができる所以である．
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