ｘ＝ｒ1ｃｏｓω1ｔ＋ｒ2ｃｏｓω2ｔ

　　ｙ＝ｒ1ｓｉｎω1ｔ＋ｒ2ｓｉｎω2ｔ

は，ω2＝−ω1のとき楕円を描きますが，

　　ω1／ω2＝ｋ，ｒ2／ｒ1＝｜ｋ｜

という比をもつとき，ｋサイクロイドを描くことになります．

　ｋが無理数のときは代数的ではなく，半径がｒ1＋ｒ2，｜ｒ1−ｒ2｜の２つの円で囲まれた環状領域を埋めつくします．ｋが有理数のときは周期的となり，サイクロイドは代数曲線であることが証明されています．たとえば，アステロイドとネフロイドは６次曲線，カージオイドとデルトイドは４次曲線です．　

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【２】トロコイド曲線の周期

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ

において，β＝ｎαの場合を考えてみます．この曲線は半径ａの円と半径ｂの円の回転運動の組み合わせになるわけですが，前者の周期は２π，後者の周期は２π／ｎとなり，周期がトロコイド曲線の次数に対して最も本質的な影響を及ぼすことは直ちに理解できます．

　後者が１回転したとき，前者はまだ１／ｎ回転しかしていません．周期的となるためには両者が同時に整数回回転しなければなりません．ｎが整数ならば後者がｎ回転したとき前者は１回転するのですが，ｎが有理数の場合，たとえばｎ＝６．０３のときは後者がｒ回転したとき，前者はｒ／６．０３回転ですから，これが整数となるためにはｒ＝６０３回転必要になります．

　　ｘ＝ｍｃｏｓθ＋ｃｏｓｍθ

　　ｙ＝ｎｓｉｎθ−ｓｉｎｎθ

の場合はｒ／ｍとｒ／ｎが同時に整数にならなければなりません．ｍ＝ｎ＝６．０３ならばｒ＝６０３ですが，ｍ＝６．０１，ｎ＝６．０３ならば前者が１回転したとき後者は６．０１／６．０３回転ですから，６．０１ｒ／６．０３が整数となるｒを求まなければなりません．計算は省略しますが，かなり次数の高い代数曲線となることがわかります．

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　ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ａ＝（ｎ−１）、ｂ＝１

　一方，エピサイクロイドは地球から見たときの惑星の逆行運動の説明に用いられた曲線で，古代ギリシア人は，惑星の動きを表現するために周転円（円の周りをまわる円）を考えていたことが知られています．エピサイクロイドは

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｒｃｏｓθ−ｒｃｏｓ（ｎ＋１）θ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ＋１）θ

　　ａ＝（ｎ＋１）、ｂ＝１

で与えられます．

　滑らないための条件は弧長が等しくなることではなく、それぞれ、ｎ-1回転、ｎ+1回転自転することによって公転軌道を1周することです。

　　ａα＝ｂβ

は、この条件を満たしています。

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