■φ形式の算法(その59)

フィボナッチ数列

 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、・・・

その数列はときとして0から出発する場合がある.

 0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、、55、89、144、・・・

出発点は負の数にも拡張できる

 -8、5、-3、2,-1、1、0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、、55、89、144、・・・

一般化すると、Fn=0,F-n=(-1)^n+1・Fn

φ^-1=-1+φ

φ^-2=2-φ

φ^-3=-3+2φ

φ^-4=5-3φ

一般化すると、φ^-n=F-n-1+F-n・φ

リュカ数列も同様である。

2、1、3、4、7、11、18、29、・・・

負数に拡張すると

-29、18、-11、7、-4、3、-1、2、1、3、4、7、11、18、29、・・・

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  φ^-4=−3φ+5

  φ^-3=2φ−3

  φ^-2=−φ+2

  φ^-1=φ−1

  φ^0=1

  φ^1=φ

  φ^2=φ+1

  φ^3=2φ+1

  φ^4=3φ+2

  φ^5=5φ+3

  φ^6=8φ+5

 右辺mφ+nの係数m,nはほかならぬフィボナッチ数列をなす.

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   √5φ^-4=7φ−11

   √5φ^-3=-4φ+7

   √5φ^-2=3φ−4

   √5φ^-1=−φ+3

   √5φ^0=2φ−1

   √5φ^1=φ+2

   √5φ^2=3φ+1

  √5φ^3=4φ+3

   √5φ^4=7φ+4

   √5φ^5=11φ+7

   √5φ^6=18φ+11

 右辺mφ+nの係数m,nはほかならぬリュカ数列をなす.

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両者の間にある

5(Fn)^2-(Ln)^2=4(-1)^n+1

という関係式が影響していると考えられる。

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  φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11

  φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=-4φ+7

  φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4

  φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3

  φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1

  φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2

  φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1

  φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3

  φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4

  φ^5=5φ+3、 √5φ^5=11φ+7

  φ^6=8φ+5、 √5φ^6=18φ+11

の右-左を計算すると

   (√5-1)φ^-4=10φ−16

   (√5-1)φ^-3=-6φ+10

   (√5-1)φ^-2=4φ−6

   (√5-1)φ^-1=-2φ+4

   (√5-1)φ^0=2φ-2

   (√5-1)φ^1= 2

   (√5-1)φ^2=2φ

  (√5-1)φ^3=2φ+2

   (√5-1)φ^4=4φ+2

   (√5-1)φ^5=6φ+4

   (√5-1)φ^6=10φ+6

   (√5-1)=2/φではあるが・・・

   φ^-5=5φ−8

   φ^-4=-3φ+5

   φ^-3=2φ−3

   φ^-2=-φ+2

   φ^-1=φ-1

   φ^0= 1

   φ^1=φ

  φ^2=φ+1

  φ^3=2φ+1

  φ^4=3φ+2

  φ^5=5φ+3

元に戻るだけ

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