フィボナッチ数列の一般項Ｆnは，

　　Ｆn ＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n−｛（１−√５）／２｝^n］

　　　　＝１／√５｛φ^n−（−１／φ）^n｝

　　　　　（Ｆ0 ＝０：φ＝（１＋√５）／２）

のように黄金比φを使って表すことができます．

　　Ｆn ＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n−｛（１−√５）／２｝^n］

　　　　＝１／√５｛φ^n−（−１／φ）^n｝

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フィボナッチ数列

　１、１、２、３、５、８、１３、２１、３４、５５、８９、１４４、・・・

その数列はときとして０から出発する場合がある．

　０、１、１、２、３、５、８、１３、２１、３４、、５５、８９、１４４、・・・

出発点は負の数にも拡張できる

　-８、５、-３、２，-１、１、０、１、１、２、３、５、８、１３、２１、３４、、５５、８９、１４４、・・・

リュカ数列も同様である。

２、１、３、４、７、１１、１８、２９、・・・

負数に拡張すると

-２９、１８、-１１、７、-４、３、-１、２、１、３、４、７、１１、１８、２９、・・・

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　　φ^-4＝−３φ＋５

　　φ^-3＝２φ−３

　　φ^-2＝−φ＋２

　　φ^-1＝φ−１

　　φ^0＝１

　　φ^1＝φ

　　φ^2＝φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１

　　φ^4＝３φ＋２

　　φ^5＝５φ＋３

　　φ^6＝８φ＋５

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはほかならぬフィボナッチ数列をなす．

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　　 √５φ^-4＝７φ−１１

　　 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　 √５φ^-2＝３φ−４

　　 √５φ^-1＝−φ＋３

　　 √５φ^0＝２φ−１

　　 √５φ^1＝φ＋２

　　 √５φ^2＝３φ＋１

　　√５φ^3＝４φ＋３

　　 √５φ^4＝７φ＋４

　　 √５φ^5＝11φ＋７

　　 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはほかならぬリュカ数列をなす．

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両者の間にある

5(Fn)^2-(Ln)^2=4(-1)^n+1

という関係式が影響していると考えられる。

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

の右-左を計算すると

　　 (√５-1)φ^-4＝10φ−16

　　 (√５-1)φ^-3＝-6φ＋10

　　 (√５-1)φ^-2＝4φ−6

　　 (√５-1)φ^-1＝-2φ+4

　　 (√５-1)φ^0＝2φ-2

　　 (√５-1)φ^1＝ 2

　　 (√５-1)φ^2＝2φ

　　(√５-1)φ^3＝2φ+2

　　 (√５-1)φ^4＝4φ＋2

　　 (√５-1)φ^5＝6φ＋4

　　 (√５-1)φ^6＝10φ＋6

　　 (√５-1)=2/φではあるが・・・

　　 φ^-5＝5φ−8

　　 φ^-4＝-3φ＋5

　　 φ^-3＝2φ−3

　　 φ^-2＝-φ+2

　　 φ^-1＝φ-1

　　 φ^0＝ 1

　　 φ^1＝φ

　　φ^2＝φ+1

　　φ^3＝2φ＋1

　　φ^4＝3φ＋2

　　φ^5＝5φ＋3

元に戻るだけ

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