■φ形式の算法(その51)

  フィボナッチ数列の一般項Fnは,

  Fn =1/√5[{(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n]

    =1/√5{φ^n−(−1/φ)^n}

     (F0 =0:φ=(1+√5)/2)

のように黄金比φを使って表すことができます.

  Fn =1/√5[{(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n]

    =1/√5{φ^n−(−1/φ)^n}

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フィボナッチ数列

 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、・・・

その数列はときとして0から出発する場合がある.

 0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、、55、89、144、・・・

出発点は負の数にも拡張できる

 -8、5、-3、2,-1、1、0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、、55、89、144、・・・

リュカ数列も同様である。

2、1、3、4、7、11、18、29、・・・

負数に拡張すると

-29、18、-11、7、-4、3、-1、2、1、3、4、7、11、18、29、・・・

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  φ^-4=−3φ+5

  φ^-3=2φ−3

  φ^-2=−φ+2

  φ^-1=φ−1

  φ^0=1

  φ^1=φ

  φ^2=φ+1

  φ^3=2φ+1

  φ^4=3φ+2

  φ^5=5φ+3

  φ^6=8φ+5

 右辺mφ+nの係数m,nはほかならぬフィボナッチ数列をなす.

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   √5φ^-4=7φ−11

   √5φ^-3=-4φ+7

   √5φ^-2=3φ−4

   √5φ^-1=−φ+3

   √5φ^0=2φ−1

   √5φ^1=φ+2

   √5φ^2=3φ+1

  √5φ^3=4φ+3

   √5φ^4=7φ+4

   √5φ^5=11φ+7

   √5φ^6=18φ+11

 右辺mφ+nの係数m,nはほかならぬリュカ数列をなす.

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