ｍを平方数でない自然数とすると，いわゆるペル方程式とは

　　ｘ^2−ｍｙ^2＝±１

で表されるものです．ペル方程式の自然数解を求めることはそれほどやさしくはありません．たとえば，

　　ｘ^2−１９９ｙ^2＝±１

の解を求めようと思ってもなかなか見つかりません．

それもそのはずで，この最小解は

　　（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）

のようにとても大きなものになってしまいます．これではいくら式を眺めたところでわからないのは無理もありません．

　この解を合理的に出すには，√１９９の連分数展開

　　√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］

を用います．９〜２８は循環節（周期２０）です．

　このペル方程式は，実２次体Ｑ（√１９９）と関係しているのですが，

ｘ^2−ｍ＝０の根√ｍを添加して得られる体Ｑ（√ｍ）の元は一意的に

　　ａ＋ｂ√ｍ

の形で表されます．そして，一般に０，１以外の平方因数をもたない整数ｍ，

　　−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，・・・

によって，Ｑ（√ｍ）は体になります．

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［１］基本単数

　まず最初に，実２次体Ｑ（√ｍ）の基本単数について説明することから始めたいと思います．Ｑ（√ｍ）を２次体とするとき，ａ＋ｂ√ｍの共役をａ−ｂ√ｍで表します（ｍ＜０ならば通常の複素共役である）．このとき，その標準底は

　ω＝√ｍ　　　　　　　　　ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）

　ω＝（１＋√ｍ）／２　　　ｍ＝１（ｍｏｄ４）

で与えられます．

　そして，単位元「１」の約数を単数といいます．ｍ＞０のとき，単数群は

　　｛±１｝×Ｃ（Ｃは乗法的巡回群）

によって与えられます．また，εをε＞１なる最小の単数とするとき，

　　Ｃ＝｛±ε^n｝

と表すことができ，εをＱ（√ｍ）の基本単数といいます．

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　実２次体の基本単数は一意に定まります．Ｑ（√ｍ）を実２次体とすると，

［ａ］ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき

　基本単数を

　　ε＝ａ＋ｂ√ｍ

　　ε~＝ａ−ｂ√ｍ

εが単数←→εε~＝ａ^2−ｍｂ^2＝±１

また，

　　ε^n＝ａn＋ｂn√ｍ

と書くと

　　ε^(n+1)＝ε・ε^n＝（ａ＋ｂ√ｍ）（ａn＋ｂn√ｍ）

　　　　　　＝ａａn＋ｂｂnｍ＋（ａｂn＋ｂａn）√ｍ

　これより

　　ａn+1＝ａａn＋ｂｂnｍ

　このことから０＜ａ1＜ａ2＜・・・，０＜ｂ1＜ｂ2＜・・・となるのですが，ａ，ｂはペル方程式：

　　ａ^2−ｍｂ^2＝±１

の解の中で（ａ，ｂ）が最小なものとして与えられます．ペル方程式の自明な解（ａ＝±１，ｂ＝０）には単数±１が，自明でない解のなかで絶対値｜ａ｜または｜ｂ｜が最小なものには基本単数が対応するというわけです．

　Ｑ（√２），Ｑ（√３），Ｑ（√６），Ｑ（√７）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2−２ｙ^2＝±１，複号は−１で（１，１）が最小→ε＝１＋√２

　　ｘ^2−３ｙ^2＝±１，複号は＋１で（２，１）が最小→ε＝２＋√３

　　ｘ^2−６ｙ^2＝±１，複号は＋１で（５，２）が最小→ε＝５＋２√６

　　ｘ^2−７ｙ^2＝±１，複号は＋１で（８，３）が最小→ε＝８＋３√７

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［ｂ］ｍ＝１（ｍｏｄ４）のとき

　基本単数を

　　ε＝（ａ＋ｂ√ｍ）／２　　　ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）

と書けば

　　ａ^2−ｍｂ^2＝±４

となること以外は前と同様です．

　Ｑ（√５），Ｑ（√１３）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２

　　ｘ^2−１３ｙ^2＝±４，複号は−４で（３，１）が最小→ε＝（３＋√１３）／２

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