世界一大きなオフィスビルは正五角形の形をしている。バージニア州アーリントンのペンタゴン（米国防総省）はもともと敷地の形に制約されたものだったが、フランクリン・ルーズベルトが代替地を選んだ後も、五角形の形は変更されなかった。五角形の形は前例がなかったからである。

　１辺の長さａの正五角形の面積は

　　（５／４）ａ^2ｔａｎ５４°

で与えられるが，三角比を使わなくても，黄金比を使って計算することができる．

　ペンタグラムの内側の正五角形の１辺の長さは，外側の正五角形形の１／φ^2＝（√５−１）^2／４＝０．３８倍，面積は１／φ^4＝０．１４５倍である．

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正五角形の辺の長さを１とすると入れ子の正五角形の１辺の長さは

φ/(2φ+1)=(3-√5)/2=1/φ^2

すなわち、公比1/φ^2の等比数列となるから、入れ子の正五角形の周長の合計は

5(1+1/φ^2+1/φ^4+1/φ^6+・・・)=5φ

この長さは元の正五角形に内接する５本の対角線=五芒星の周長に等しい。

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