以下の式は利用できないだろうか？

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F2n+1=(Fn+1)^2+(Fn)^2

Fn+2Fn-1=(Fn+1)^2-(Fn)^2

Fn+1Fn-1-(Fn)^2=(-1)^n

Fn=FmFn+1-m+Fm-1Fn-m

Ln+m+(-1)^mLn-m=LmLn

L2n+2(-1)^2=(Ln)^2

Ln-1+Ln+1=5Fn

Fn-1+Fn+1=Ln

Fn+2-Fn-2=Ln

Fn+Ln=2Fn+1

F2n=FnLn

Fn+1Ln+1-FnLn=F2n+1

Fn+m+(-1)^nFn-m=LmFn

Fn+m-(-1)^nFn-m=FmLn

LmFn+LnFm=2Fn+2

LmFn-LnFm=(-1)^m2Fn-2

Lm+n-(-1)^mLn-m=5FmFn

(Ln)^2-2L2n=-5(Fn)^2

L2n-2(-1)^2=5(Fn)^2

5(Fn)^2-(Ln)^2=4(-1)^n+1

3Fn+Ln=2Fn+2

5Fn+3Ln=2Ln+2

Ln=Fn+2+2Fn-1

Ln=L1Fn+L0Fn-1

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Fn-1+Fn+1=LnよりF2n-1+F2n+1=L2n

であるが、直接証明してみたい。

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a=1/√5・{α^2n-1-β^2n-1}=1/√5・(α-β)(α^2n-2+α^2n-3β+α^2n-4β^2+・・・+β^2n-2)

b=1/√5・{α^2n+1-β^2n+1}=1/√5・(α-β)(α^2n+α^2n-1β+α^2n-2β^2+・・・+β^2n)

L={α^2n+β^2n}

αβ=-1,α^2+β^2=3,α+β=1

a+b=1/√5・{α^2n-1（α^2+1)-β^2n-1(β^2+1)}とすると難しくなるので、

√5=α-β

a=(α^2n-2+α^2n-3β+α^2n-4β^2+・・・+β^2n-2)

a=(α^2n-2-α^2n-4+α^2n-6+・・・+β^2n-2)

b=(α^2n-α^2n-2+α^2n-4+・・・+β^2n)

a+b={α^2n+β^2n}=L

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