フィボナッチ数列の一般項Ｆnは，

　　Ｆn ＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n−｛（１−√５）／２｝^n］

　　　　＝１／√５｛φ^n−（−１／φ）^n｝

　　　　　（Ｆ0 ＝０：φ＝（１＋√５）／２）

のように黄金比φを使って表すことができます．

　　Ｆn ＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n−｛（１−√５）／２｝^n］

　　　　＝１／√５｛φ^n−（−１／φ）^n｝=n^2

となるｎについて考えてみます。

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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一般に

　　φ^n＝Fnφ＋Fn-1

と書くことができる。

もし、φとφ^2の組み合わせに分割するならば

　　φ^3＝1φ＋1φ^2

　　φ^4＝1φ＋2φ^2

　　φ^5＝2φ＋3φ^2

　　φ^6＝3φ＋5φ^2

　　φ^n＝Fn-2φ＋Fn-1φ^2

と書くことができる。

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ｎが奇数のとき

２φ^n＝Fn√5＋(Fn-1＋Fn+1)

２φ^-n＝Fn√5−(Fn-1＋Fn+1)

ｎが偶数のとき

２φ^n＝(Fn-1＋Fn+1)＋Fn√5

２φ^-n＝(Fn-1＋Fn+1)−Fn√5

　　2φ^1＝1+√5

　　2φ^2＝3+√5

　　2φ^3＝4＋2√5→φ^3＝2＋√5

　　2φ^4＝7＋3√5

　　2φ^5＝11＋5√5

　　2φ^6＝18＋8√5→φ^6＝9＋4√5

　　2φ^-1＝-1+√5

　　2φ^-2＝3-√5

　　2φ^-3＝-4＋2√5→φ^-3＝-2＋√5

　　2φ^-4＝7-3√5

　　2φ^-5＝-11＋5√5

　　2φ^-6＝18-8√5→φ^-6＝9-4√5

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　　2φ^1＝1+√5

　　2φ^-1＝-1+√5

　　2φ^1-2φ^-1＝2

　　2φ^2＝3+√5

　　2φ^-2＝3-√5

　　2φ^2+2φ^-2＝6

　　2φ^3＝4＋2√5

　　2φ^-3＝-4＋2√5

　　2φ^3-2φ^-3＝8

　　2φ^4＝7＋3√5

　　2φ^-4＝7-3√5

　　2φ^4+2φ^-4＝14

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　　Ｆn＝１／√５｛φ^n−（−１／φ）^n｝=n^2

　　φ^nＦn＝１／√５｛φ^2n−（−１）^n｝

　　√５φ^nＦn＝｛φ^2n−（−１）^n｝

nが偶数のとき　　√５φ^nＦn＝｛φ^2n-1｝

nが奇数のとき　　√５φ^nＦn＝｛φ^2n+1｝

（有効かどうかはわからないが） φ^nについての２次方程式を解くと

φ^n＝[√５Ｆn+｛５（Ｆn）＾2+/-4｝^1/2]/2

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ｎが偶数のとき、５（Ｆn）＾2+4は平方数でなければならない

ｎが奇数のとき、５（Ｆn）＾2-4は平方数でなければならない

n=1,F1=1→1

n=2,F2=1→9→3

n=3,F3=2→16→4

n=4,F4=3→49→7

n=5,F5=5→121→11

n=6,F6=8→324→18

n=7,F7=13→841→29

n=8,F8=21→2209→47

n=9,F9=34→5776→76

n=10,F10=55→15129→123

n=11,F11=89→39601→199

n=12,F12=144→103684→322

これはリュカ数になっている

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