最初の８項の和は

　１＋１＋２＋３＋５＋８＋１３＋２１＝５４＝５５−１

１０番目のフィボナッチ数から１引いたものになります．

一般に

F1+F2+F3+・・・+Fn=(F3-F2)+(F4-F3)+(F5-F4)+・・・+(Fn+2-Fn+1)=Fn+2-1

に等しくなります。

　最初の１０項の和は

　１＋１＋２＋３＋５＋８＋１３＋２１＋３４＋５５＝１４３＝１４４−１

もし、F12=12^2=144であることを知っていれば、あっという間に答えを告げることができます．

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２乗和の公式は

F1^2+F2^2+F3^2+・・・+Fn^2=FnFn+1

となります

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フィボナッチ数は多くの性質をもっていて，以下にいくつか紹介しておきます．

　　Ｆn・Ｆn+2＝Ｆn+1^2−（−１）^n　　　（カッシーニの公式）

　　Ｆ1＋Ｆ2＋Ｆ3＋・・・＋Ｆn＝Ｆn+2−１

　　Ｆ1＋Ｆ3＋Ｆ5＋・・・＋Ｆ2n-1＝Ｆ2n

　　Ｆ2＋Ｆ4＋Ｆ6＋・・・＋Ｆ2n＝Ｆ2n+1−１

　　Ｆ1^2＋Ｆ2^2＋Ｆ3^2＋・・・＋Ｆn^2＝Ｆn・Ｆn+1

　有名な幾何学的パラドックス＜６４ｃｍ^2＝６５ｃｍ^2＞は，「不思議の国のアリス」の作者であるルイス・キャロルが創ったとも，パズルの大御所であるサム・ロイドが創ったともいわれているパズルです．きっと，いろいろな本でみたことのある方も多いと思います．

　このトリックは一直線をなすように使われた２つの線分の傾き３／８，５／１３の相違がわれわれの視力の限界外となる錯覚を利用したもので，もっと先の数，たとえば８／２１とかを使えばより巧妙なトリックになります．公式

　　Ｆn・Ｆn+2＝Ｆn+1^2−（−１）^n

は，３つ並んだフィボナッチ数の真ん中の数の平方は前後の２つの数の積より１大きいか小さいかのどちらかで，このトリックパズルのもとになっています．

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　　Ｆn+2＝　Ｆn+1＋　Ｆn

　　Ｆn+3＝２Ｆn+1＋　Ｆn

　　Ｆn+4＝３Ｆn+1＋２Ｆn

　　Ｆn+5＝５Ｆn+1＋３Ｆn

　　・・・・・・・・・・・

　　Ｆn+k＝ＦkＦn+1＋Ｆk-1Ｆn

ここで，ｋ＝ｎ，２ｎ，・・・とすると

　　Ｆ2n＝ＦnＦn+1＋Ｆn-1Ｆn

　　Ｆ3n＝Ｆ2nＦn+1＋Ｆ2n-1Ｆn

　　・・・・・・・・・・・・・・

よりＦknはＦnの倍数であることがわかります，

　いいかえれば，３つ目ごとのＦnが偶数，４つ目ごとのＦnはＦ4＝３で割り切れ，５つ目ごとのＦnはＦ5＝５で割り切れます．

　１８７６年，リュカはさらにすごい式

　　ｇｃｄ（Ｆm，Ｆn）＝Ｆgcd(m,n)

が成り立つことを証明しました．

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