■ブラーマグプタ・バースカラ・チャクラバーラ法(その61)

  φ=(√5+1)/2は2次方程式x^2−x−1=0の根であり,

  φ=1+1/φ

このφの値を右辺のφに入れれば

  φ=1+1/(1+1/φ)

さらに,この右辺のφに代入し,・・・ということを繰り返せば

 φ=1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/1+・・・)

となります.

すなわち,

  (1+√5)/2=[1;1,1,1,1,1,・・・]

なのですが,黄金比はユークリッドの互除法によって「1」だけを使って無限連分数に展開できる無理数であり,その意味では最も基本的で最もゆっくり収束する無理数であり,最もシンプルなフラクタル生成装置ともいえます.

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 連分数とは,

a1/(b1+a2/(b2+a3/(b3+a4/(b4+a5/b5+・・・)

のような分数を続けた式で,実用上は最初にa0+をつけた形が使われます.

整数論で使われる連分数は普通,ak=1,bkが正の整数である標準連分数です.

 連分数の第n近似分数wnは

  p-1=1,p0=0,pk=akpk-2+bkpk-1

  q-1=0,q0=1,qk=akqk-2+bkqk-1   (k=1,2,・・・)

をつくると,wn=pn/qnとして計算できます.wnの値だけが必要ならば,除法は最後の1回だけで済むというわけです.そして,標準連分数はすべて収束し,その際,近似分数列{wn}は振動しつつ,交互に上下から収束する形になります.

  p-1=1,p0=0,pk=pk-2+bkpk-1

  q-1=0,q0=1,qk=qk-2+bkqk-1   (k=1,2,・・・)

  √2=[1;2,2,2,2,2,・・・]の場合は

  p0=1,p1=1,pk=pk-2+2pk-1

  q0=0,q1=1,qk=qk-2+2qk-1 

  pk=1,1,3,7,17,41,99

  qk=0,1,2,5,12,29.70

となって、x^2-2y^2=1とx^2-2y^2=-1の解を交互に対応する。

7^2-2・5^2=-1、17^2-2・12^2=1

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