［Ｑ］９２ａ^2＋１が平方数ｂ^2となるような，整数ａ，ｂを求めよ．

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【１】チャクラバーラ法

チャクラバーラ法は近い方程式の解を見つけることから出発する

x=a,y=bがひとつの小さい数値ｋに対するNx^2+k=y^2の解であるとする

たとえばx=1,y=mはNx^2+(m^2-N)=y^2の解である。

このときブラーマグプタの恒等式より

N(am+b)^2+(m^2-N)k=(bm+Na)^2

x=(am+b)/k,y=(bm+Na)/kはNx^2+(m^2-N)/k=y^2の解になっている。

m＝10，N＝92 61+(64-61)=64 a=1,b=10,k=b^2-Na^2=8

a=1,b=10、k=b^2-Na^2=8

ｍをam+bがｋで割り切れるようにとるとbm+Naもｋで割り切れることになり、

x=(am+b)/k,y(bm+Na)/kはNx^2+(m^2-N)/k=y^2の解であって、(m^2-N)/kもまた整数である。

そこで、(m^2-N)/kがｋよりも小さくなるように工夫すれば、この操作の繰り返しによりNx^2+1=y^2の整数解が得られることになる。

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(m+10)/8が整数となるものの中で、m^2-92ができる限り小さくなるものを見つけ出した→m=14

→a=(m+10)/8＝3,b=(10m+92)/8=(140+92)/8=29,k=841-92・9＝13

(3m+29)/13が整数となるもののなかで、m^2-92ができる限り小さくなるようなものはｍ=12

→a=(3m+29)/13＝5,b=(29ｍ+92・3)/13=(348+276)/8=48,k=2304-92・25＝4

(5m+48)/4が整数となるもののなかで、m^2-92ができる限り小さくなるようなものはｍ=8

→a=(5m+48)/4＝22,b=(48ｍ+92・5)/4=(384+460)/4=211,k=44521-92・484＝7

(22m+211)/7が整数となるもののなかで、m^2-92ができる限り小さくなるようなものはｍ=13

→a=(22m+211)/7＝71,b=(211ｍ+92・22)/7=(2743+2024)/7=681,k=463761-92・5041＝11

(71m+681)/11が整数となるもののなかで、m^2-92ができる限り小さくなるようなものはｍ=9

→a=(71m+681)/11＝120,b=(681ｍ+92・71)/11=(6129+6532)/11=1151,k=1324801-92・120・120＝1

したがって，（ｘ，ｙ）＝（１１５１，１２０）はペル方程式の整数解となる．

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