■ブラーマグプタ・バースカラ・チャクラバーラ法(その51)

[Q]61a^2+1が平方数b^2となるような,整数a,bを求めよ.

===================================

バースカラは(m+8)/3が整数となるものの中で、m^2-61ができる限り小さくなるものを見つけ出した→m=7

→(5,39)が方程式61x^2-4=y^2の解であることを見つけ出す。

  D=61,(x,y)=(1866319049,226153980)が最小解となる

 たとえば,x=7,y=1のとき

  49−61=12

[1]ブラーマグプタの恒等式

  (x1^2−Ny1^2)(x2^2−Ny2^2)=(x1x2+Ny1y2)^2−N(x1y2+x2y1)^2

  N=61,x1=x2=7,y1=y2=1

を代入すると

  12^2=(49+61)^2ー61・(14)^2

  12^2=(110)^2ー61・(14)^2

  1=(110/12)^2ー61・(14/12)^2

  1=(55/6)^2ー61・(7/6)^2

  N=61,x1=x2=55/6,y1=y2=7/6

(55/6^2-61・7/6^2)^2=((55/6)^2+61(7/6)^2)^2-61(385/36・2)^2

1=(6014/36)^2-61(770/36)^2

1=(3007/18)^2-61(385/18)^2

{(3007/18)^2-61・(385/18^2)}^2=(18083774/324)^2-61(3007・385・2/18^2)^2

1=(18083774/324)^2-61(2315390/324)^2

単純にこの繰り返しはつらい・・・

===================================

 一般に

  x^2−Dy^2=1

なる問題はペル方程式の問題であるが,D=61の場合は極端の難しくなる.

  D=61,(x,y)=(186319049,226153980)

 Dが99までの範囲で,yが5桁以上となるのは,ほかに

  D=73,(x,y)=(2281249,267000)

  D=85,(x,y)=(285769,30996)

  D=89,(x,y)=(5000001,53000)

  D=94,(x,y)=(2143295,221064)

  D=97,(x,y)=(628096336377352)

===================================