ブラーマグプタの銘言に「数学者とは

　　ｘ^2−９２ｙ^2＝１

を１年以内に解ける人のことである」とあるそうです．

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【１】ブラーマグプタの恒等式

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

　そして，ブラーマグプタはこの恒等式を使って

　　ｘ^2−９２ｙ^2＝１

を解いたそうです（６２８年）．

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　たとえば，ｘ＝１０，ｙ＝１のとき

　　ｘ^2−９２ｙ^2＝８

比較的小さい値なので，これを使うことにする．

［１］ブラーマグプタの恒等式

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

に

　　Ｎ＝９２，ｘ1＝ｘ2＝１０，ｙ1＝ｙ2＝１

を代入すると

　　８^2＝１９２^2−９２・２０^2

　　１＝（１９２/８）^2−９２・（２０／８）^2

　　１＝２４^2−９２・（５／２）^2

［２］ブラーマグプタの恒等式

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

に

　　Ｎ＝９２，ｘ1＝ｘ2＝２４，ｙ1＝ｙ2＝５／２

を代入すると

　　１＝１１５１^2−９２・１２０^2

　したがって，（ｘ，ｙ）＝（１１５１，１２０）はペル方程式の整数解となる．

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【１】チャクラバーラ法

チャクラバーラ法は近い方程式の解を見つけることから出発する

x=a,y=bがひとつの小さい数値ｋに対するNx^2+k=y^2の解であるとする

たとえばx=1,y=mはNx^2+(m^2-N)=y^2の解である。

m＝10，N＝92 92+(100-92)=100 a=1,b=10,k=8

このときブラーマグプタの恒等式より

N(am+b)^2+(m^2-N)k=(bm+Na)^2 92(20)^2+8^2=(192)^2→92(20/8)^2+(8/8)^2=(192/8)^2

x=(am+b)/k,y=(bm+Na)/kはNx^2+(m^2-N)/k=y^2の解になっている。 a=20/8,b=192/8

ｍをam+bがｋで割り切れるようにとるとbm+Naもｋで割り切れることになり、

x=(am+b)/k,y(bm+Na)/kはNx^2+(m^2-N)/k=y^2の解であって、(m^2-N)/kもまた整数である。

そこで、(m^2-N)/kがｋよりも小さくなるように工夫すれば、この操作の繰り返しによりNx^2+1=y^2の整数解が得られることになる。

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92(20/8)^2+1=(192/8)^20

x1=x2=20/8=5/2,Y1=y2=192/8=24

ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

(24^2-92・25/4)^2=(24^2+92・25/4-92(120)^2

(576-575)^2=(596+575)^2-92(120)^2

1=(576+575)^2-92(120)^2

1=(1151)^2-92(120)^2

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