平方因子を持たない整数Aに対する方程式x^2-Ay^2=1については好ましい理論がある

x^2-2y^2=1→(x,y)=(3,2)

x^2-3y^2=1→(x,y)=(7,4)

x^2-5y^2=1→(x,y)=(9,4)

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√Aの連分数展開との関連についてみてみよう

A=5

√5=[2:4,4,4,・・・]

[2:4]=9/4→9^2-5・4^2=1

[2:4,4]=38/17→38^2-5・17^2=-1

[2:4,4,4]=161/72→161^2-5・72^2=1

これらは√5を上と下から交互にその近似分数列をあたえるのである。

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