■包絡線と・・・(その25)

鉛直な壁に鉛直に立てかけられた長さ1の棒が、上端が常に壁に接しながら倒れるときの棒の通過範囲は

アステロイドの第1象限をとなる。

その面積は3π/32であるから、1/4円の面積π/4の3/8である。

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 点(x,y)がx軸とy軸の両方に接する長さ1の線分の通過範囲にあることは

y=sinθ-xtanθ

を満たす0<θ<π/2の存在と同値である。

dy/dθ=cosθ-x/cos^2θ=(cos^3θ-x)/cosθ

dy/dθ=0,x=cos^3θを満たすθの値をαとおくと、dy/dθ≧0→θ≦α、yはθ=αのとき極大かつ最大

y=sinα-xtanα=sinα(1-x/cosα)=(1-cos^2α)^1/2(1-x/cosα)=(1-x^2/3)^1/2(1-x/x^1/3)=(1-x^2/3)^3/2=sin^3α

これより境界はx^2/3+y^2/3=1

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