■包絡線と・・・(その18)

 無限に多くの曲線があって、各曲線f(x、y、a)=0で表されるとする。それらの包絡線は

x=φ(a), y=ψ(a)として、

  f(x、y、a)=0,fa(x、y、a)=0

の連立方程式の解として表される。

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[Q] 楕円:x^2/a^2+y^2/b^2=1のx軸に垂直な弦を直径とする円の包絡線は?

[A] 円の方程式は(x-acosθ)^2+y^2=(bsinθ)^2

θで偏微分するとx=(a^2+b^2)/a・cosθ

元の円の方程式に代入するy^2=1b^4/a^2+b^2/a^2・(a^2+b^2)(sinθ)^2

θを消去すると

  x^2(a^2+b^2)+y^2/b^2=1

これも楕円である。

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