■17=2^4+1(その1)

正五角形が作図可能なのは、5が素数で、5=2^2+1と書けるからである

正17角形が作図可能なのは、17が素数で、17=2^4+1と書けるからである

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 正五角形の作図では√5を作り出すために,まず,半径の2等分点を求める.

  1^2+2^2=5

正17角形の作図では√17を作り出すために,まず,半径の4等分点を求める.

  1^2+4^2=17

 リッチモンドによる正17角形の作図法を解析幾何的に書くと,

[1]A(1,0),E(0,1/4)を結ぶ直線は

  x+4y−1=0

[2]∠OEAの二等分線

  x+4y−1=−x√17

  4ax+4y−1=0,a=(1+√17)/4→F

[3]∠OEFの二等分線

  4ax+4y−1=−x√16(a^2+1)

  4(a+√(a^2+1))x+4y−1=0

  4bx+4y−1=0,b=(a+√(a^2+1)→G(1/4b,0)

  c=1/4b

[4]∠HEF=π/4

  EG:−4x+4by−b=0

  EH:−4x+4by−b=4bx+4y−1

  4(b+1)x+4(1−b)y−(1−b)=0

  →H=((1−b)/4(b+1),0)

  d^2=(1−b)/4(b+1)

[4]AHを直径とする円とy軸との交点I

  I=(0,√(b^2−1)/2(b+1))

[5]GIを半径とする円とx軸との交点J,K

  e^2=c^2+d^2=(4b^3−4b^2+b+1)/16b^2(b+1)

  J=(c+e,0),K=(c−e,0)

[5]J,Kを通り,x軸に直交する垂線と円との交点L,M

  L=(c+e,√{1−(c+e)^2)

  M=(c−e,√{1−(c−e)^2)

  ∠AOL=10π/17,∠AOM=6π/17

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