正五角形が作図可能なのは、５が素数で、５＝２^2＋１と書けるからである

正１７角形が作図可能なのは、１７が素数で、１７＝２^4＋１と書けるからである

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　正五角形の作図では√５を作り出すために，まず，半径の２等分点を求める．

　　１^2＋２^2＝５

正１７角形の作図では√１７を作り出すために，まず，半径の４等分点を求める．

　　１^2＋４^2＝１７

　リッチモンドによる正１７角形の作図法を解析幾何的に書くと，

［１］Ａ（１，０），Ｅ（０，１／４）を結ぶ直線は

　　ｘ＋４ｙ−１＝０

［２］∠ＯＥＡの二等分線

　　ｘ＋４ｙ−１＝−ｘ√１７

　　４ａｘ＋４ｙ−１＝０，ａ＝（１＋√１７）／４→Ｆ

［３］∠ＯＥＦの二等分線

　　４ａｘ＋４ｙ−１＝−ｘ√１６（ａ^2＋１）

　　４（ａ＋√（ａ^2＋１））ｘ＋４ｙ−１＝０

　　４ｂｘ＋４ｙ−１＝０，ｂ＝（ａ＋√（ａ^2＋１）→Ｇ（１／４ｂ，０）

　　ｃ＝１／４ｂ

［４］∠ＨＥＦ＝π／４

　　ＥＧ：−４ｘ＋４ｂｙ−ｂ＝０

　　ＥＨ：−４ｘ＋４ｂｙ−ｂ＝４ｂｘ＋４ｙ−１

　　４（ｂ＋１）ｘ＋４（１−ｂ）ｙ−（１−ｂ）＝０

　　→Ｈ＝（（１−ｂ）／４（ｂ＋１），０）

　　ｄ^2＝（１−ｂ）／４（ｂ＋１）

［４］ＡＨを直径とする円とｙ軸との交点Ｉ

　　Ｉ＝（０，√（ｂ^2−１）／２（ｂ＋１））

［５］ＧＩを半径とする円とｘ軸との交点Ｊ，Ｋ

　　ｅ^2＝ｃ^2＋ｄ^2＝（４ｂ^3−４ｂ^2＋ｂ＋１）／１６ｂ^2（ｂ＋１）

　　Ｊ＝（ｃ＋ｅ，０），Ｋ＝（ｃ−ｅ，０）

［５］Ｊ，Ｋを通り，ｘ軸に直交する垂線と円との交点Ｌ，Ｍ

　　Ｌ＝（ｃ＋ｅ，√｛１−（ｃ＋ｅ）^2）

　　Ｍ＝（ｃ−ｅ，√｛１−（ｃ−ｅ）^2）

　　∠ＡＯＬ＝１０π／１７，∠ＡＯＭ＝６π／１７

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